注重“结构化”，让学习在整体关联与结构发展中走向深刻

文|管小冬

结构化是指“将逐渐积累起来的知识加以归纳和整理，使之条理化、纲领化，做到纲举目张。”在小学数学教学中，结构化教学一直被倡导。一方面，这源于数学知识本身的结构化与系统化，即人类文明发展到今天，数学研究的成果呈现出高度结构化的状态，这既是数学本身的特征，也代表着人类对世界、对数学认识的不断深入。另一方面，这源于我们的教育对象是儿童，基于他们的心理及认知特征，要想让他们在较短的时间内掌握这些集聚人类几百甚至几千年智慧结晶的数学成果，以结构化的方式进行教学是我们的必备方式之一。因此，各版本教材的编写，在内容的呈现顺序、方式上都十分注重结构化。近几年，以吴玉国为代表的数学研究团队，更是旗帜鲜明地提出了“结构化教学”的教学主张，倡导“教师建立在数学知识系统和学生已有认知基础上”的，“着眼整体，着重联系，着力思维”的教学。即“始终把每堂课教学的知识置于整体的知识体系中，让学生在一定的知识体系中更好地理解各部分知识。”（史宁中）

需要特别指出的是，本文所谈的“结构化”，特指在单元或板块学习结束时，学生在教师的引导下对单元或板块学习的具体内容、学习方法、思维过程等进行梳理、关联，形成整体性认识与全局性理解；将这部分内容与以前所学内容有效关联，更深刻地理解数学知识发生发展过程，领悟其间蕴含的数学思想方法，更好地实现“同化”与“顺应”；立足当前内容，展望后续学习与研究，寻找新方向，发现新问题，诱发新思考，让数学学习在整体关联与结构发展中走向深刻。

我们特别强调在单元或板块学习结束时引导学生形成结构化的认知，源于以下三个方面的认识与实践。

首先，在指向具体内容的数学学习中，在教师有意识地设计与引导下，结构化学习得以发生（事实上，我们也应倡导、追寻这样的教与学的方式）。但我们仍应看到，即使有着教师基于对数学内容整体、高位认识下的结构化设计，学生学习时仍然很难，甚至几乎不可能在具体内容的学习时“居高临下”地看待学习内容、方法与过程。“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，他们往往沉浸在教师所创设的“真情境”中展开学习与探究活动。其间虽然也有对“学什么”“为何学”“怎样学”等方面的认识与思考，但正因为置身其中，往往并不能清晰且深刻地认识到知识间的整体关联与结构发展。王国维在《人间词话》中有一段关于诗人的评语：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。”学生的学习也不外乎此，“入乎其内”可以让学生于“真情境”中获得“真体验”，以主体身份亲历知识发生发展的关键历程，形成对具体内容所蕴含的数学本质及相应数学思想、方法的深刻理解；而“出乎其外”却可以让他们以第三人称的视角，立足全局、立足高远，回顾、审视、剖析，进而将相应内容连点成线、连线成面、连面成体。

比如，三角形的底和高是度量、刻画三角形的两个重要数据，苏教版教材将“底和高的认识”编排在四年级下册第七单元第一课时“认识三角形”中。实际教学中，我们会发现，即使教师能够“高观点”地设计并展开教学（具体案例可参考本刊2021年第1~2 期《立足“高观点”，让学习在数学与儿童的和谐统一中走向深刻———以〈认识三角形〉教学为例》一文），学生仍很难形成对底和高的数学本质及紧密关系的深刻认识。究其原因，一方面是因为学生在对周围世界的观察中所形成的对“高”的生活性描述与理解，对其领悟三角形高的数学本质形成了干扰；另一方面则是因为学生初次涉及“图形的高”这一内容，在单一学习内容的学习与体验中，很难形成对这一概念数学内容的深刻认识。因此，在“三角形”板块的内容学习结束时，我借助“什么是三角形的底和高？”“对三角形来说，底和高的作用是什么？”“三角形的底和高与长方形的长和宽有什么联系与区别？”“在这部分内容的学习过程中，你对三角形底和高的认识有哪些发展和变化？”等问题，引导学生从全局的角度进行回顾与梳理。在这样的过程中，他们发现“与长方形的长和宽一样，三角形的底和高也是用来刻画图形大小的重要数据。长方形的长和宽确定后，它的形状、大小都可以确定；三角形的底和高只能确定它的面积，不能确定它的形状。”“我们之所以要研究三角形的高，是因为高是从顶点到它对边的垂直线段，有了它，我们就可以把三角形与长方形、与单位面积等内容联系起来，进而解决问题。”在这种“出乎其外”的回顾、审视、剖析与交流中，学生逐渐积累起来的对三角形、对三角形高的认识就不再是堆积的，而是初步走向了结构化。

其次，我们倡导具体实施中的“童筹划”，引领学生在真情境中发现问题、提出问题，“自主提出解决问题的方法，确定解决问题的步骤与注意事项，构建问题解决的研究路径”。从“结构化”的视角看，“童筹划”归属于“低结构学习”，即“学习主要由儿童发起，学习的动机主要是儿童的需要，由儿童与教师共同确定学习的目标，更强调学习活动的过程”。这样的学习，侧重于让学生完整经历真实的问题解决过程，在掌握基础知识与基本技能的同时，积累解决问题的基本经验，促进创新能力、协作能力和批判性思维等方面的发展。但我们仍应看到，“结构化”或者说学生学习结果的“高结构”仍应是教学活动的重要目标之一。北京教育学院的刘加霞教授认为：“形成结构并从结构的角度把握事物本质的过程即为结构化。……从无序、杂乱到有序、有结构既是人的心理需要、学生学习数学的需要也是数学发展的需要。”她强调：“任何一个数学内容都从属于某一结构，从‘结构’的角度来把握所学习的数学内容非常重要，这样能把握内容的实质，建立内容之间的联系。”而在单元或板块学习结束时，引领学生对基于“童筹划”而展开的学习过程进行回溯、梳理与反思，是“从无序、杂乱到有序、有结构”的最佳契机之一。这样的结构化不仅有助于学生对数学知识的记忆、存储和检索，更能去芜存精，提高认知的结构品质，进而使学生获得知识迁移与应用能力等方面的提升。

比如，在“三角形”部分的教学中，“童筹划”的学习方式可以让学生根据自己的认识选择感兴趣的主题展开研究，研究中可以结合遇到的具体问题与困难及时优化研究方法与过程，甚至是调整研究方向。在这样的学习与研究中，因为学生的行动与思考多源于自身对相应问题认识的不断深入，所以对板块内各部分知识间的联系会有着较为深入的认识。例如，选择“三角形的面积计算”作为首个研究主题的那些学生，会在研究中发现计算三角形的面积始终都离不开顶点到对边的这条垂直线段，进而主动去认识“三角形的高”。在这样的过程中，他们对三角形高的数学本质，三角形的底和高与面积间的关系有着超出其他学生的、更为深刻的理解。（具体案例可参考本刊2021年第3 期《倡导“童筹划”，让学习在师生协同建构中走向深刻——以“三角形”部分的教学为例》一文）但我们也发现，在这种学习方式下学生所形成的认知结构层次还不够清晰与系统。因此，在这一板块的内容学习结束时，教师应引导学生回顾这一板块的学习历程，重点思考：本部分内容的基础知识、基本概念是什么？各部分内容是如何在这些基础知识、基本概念的基础上生长出来的？相互间有着怎样的联系？如果请你指导同伴进行这个板块的学习，你会建议他沿怎样的路径展开？随后，再引导学生就自己思考、梳理形成的本板块内容思维导图进行交流。在这样的过程中，学生会逐步理清知识发生发展的过程，明晰各部分内容间的相互关联，将“童筹划”过程中形成的认知结构不断调整、优化为更契合数学自身的结构。

最后，从学习是为了“学会学习”这一目的出发，学生“结构化”状态下的数学知识方具有“自我生长的活力”，对学习过程与结果的“结构化”追寻可以推动他们不断在新情境中生成新问题，形成新悬念，进而在“结构”的不断打破与重塑中获得新知识、新方法与新思想。从这一角度看，单元或板块内容学习结束时的“结构化”有两个方向。一是内部的结构化，即在理解各具体内容数学本质的基础上，明晰相互间的联系，建立知识网络，形成整体性认识、全局性理解，提升应用能力。二是外部的结构化，即在内部结构化的基础上，向前追溯，理清知识发生发展的脉络，主动将当前的“结构化”认知与原有认知进行衔接，促进“结构化”在更高层面、更广范围的形成与发展；向后追问，尝试发现新的研究方向，提出新问题，作出新猜想，实现数学学习的主动发生与“结构”的“主动生长”。

比如，在三角形板块的内容学习结束后，我们可以引导学生思考这样的几个问题：1.教材为什么要安排我们先认识长方形、正方形，再认识三角形？2.长方形、正方形板块的学习过程与这部分内容的学习有哪些相似之处？又有什么不同？3.后续你想继续研究什么内容？可以怎么进行研究？

以上是我在“三角形”板块的教学中，就促进学生数学认知“结构化”，走向简约，走向深刻方面的实践与思考。需要特别指出的是，结构化的教与学可以大大提升学生对知识的记忆、理解、检索与应用，但我们仍应明白，结构化教学，不能仅止于结构化，还应引导学生在这一过程中学会“结构化”，自主“结构化”，由此获得学习习惯、思维方式、数学素养等方面的发展与提升。