二次函数中考亮点题

陈洪兵

二次函数是初中数学的重要内容，也是中考命题中设计亮点题的重要素材.下面以2021年中考题为例，介绍两类二次函数的中考亮点题.

一、图象信息型

例1（2021·四川·遂宁）已知二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象如图1所示，有下列5个结论：①[abc>0];②[b2<4ac];③[2c<3b];④[a+2b>m]·（[am+b]）（[m≠1]）;⑤若方程[ax2+bx+c] = 1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有（ ）.

A. 2个        B. 3个          C.  4个            D. 5个

解析：由图象的开口向下可知a<0，由对称轴在y轴的右侧可知a，b异号，故b>0，由图象与y轴交于正半轴可知c>0，因此abc<0，故①不正确. 由二次函数的图象与x轴有两个交点，可知b2-4ac>0，即b2>4ac，故②不正确. 由图象可知其对称轴为x = -[ b2a]  = 1，∴a = -[ 12]b，又由图象可知，当x = -1时，y = a - b + c<0，∴- [12]b - b + c<0，即[2c<3b]，故③正确. 由图象可知，当x = 1时函数有最大值，因此当x = m且m ≠ 1時，有am2 + bm + cam2 + bm，又∵b>0，∴a + 2b>m（am + b）（m ≠ 1），故④正确. 由方程[ax2+bx+c] = 1有四个根，可知二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象与直线y = ±1有四个交点. 设二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象与直线y = 1两个交点的横坐标分别为x1和x2，则由方程ax2 + bx + c - 1 = 0可知x1 + x2 = - [ba]. ∵a = - [12]b，∴x1 + x2 = 2.同理，设二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象与直线y = -1两个交点的横坐标分别为x3和x4，则x3 + x4 = 2，∴x1 + x2 + x3 + x4 = 4，故⑤不正确. 故选A.

点评：方程问题可以通过构造函数，借助于图象的直观性来解决.

二、定义概念型

例2（2021·江西）二次函数y = x2 - 2mx的图象交x轴于原点O及点A.

感知特例：

（1）当m = 1时，如图2，抛物线L：y = x2 - 2x上的点B，O，C，A，D关于点A中心对称的点分别为B'，O'，C'，A'，D'.如下表：       [… B（-1，3） O（0，0） C（1，-1） A（ ， ） D（3，3） … … B'（5，-3） O'（4，0） C'（3，1） A'（2，0） D'（1，-3） … ]

①补全表格;

②在图2中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'.

形成概念：

我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”.例如，当m = -2时，图3中抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.

探究问题：

（2）①当m = -1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ;

②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y = x2 -2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“y = ax2 + bx + c”或“y = ax2 + bx”或“y = ax2 + c”或“y = ax2”，其中abc ≠ 0）;

③若二次函数y = x2 - 2mx及它的“孔像抛物线”与直线y = m有且只有三个交点，求m的值.

解析：（1）A（2，0）;②如图2所示.

（2）①当m = -1时，抛物线L为y = x2 + 2x，在直角坐标系中作出抛物线L及它的“孔像抛物线” L'，如图4，观察图象可知，当-3 ≤ x ≤ -1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小.

②令y = x2 - 2mx中的y = 0，得x1 = 0，x2 = 2m，∴抛物线y = x2 - 2mx与x轴的交点坐标为O（0，0），E（2m，0），点O关于点E的对称点为E'（4m，0），易知m ≠ 0，再令x = -1，代入y = x2 - 2mx得y = 1 + 2m，得到点F（-1，2m + 1），利用全等三角形可以求得点F关于点E对称的点F'（4m + 1，-2m - 1）.设抛物线L的“孔像抛物线” L'的解析式为y = a'（x - 2m）（x - 4m），将点F'（4m + 1，-2m - 1）代入，得-2m - 1 = a'（4m + 1 - 2m）（4m + 1 - 4m），解得a' = -1，∴“孔像抛物线”L'的解析式为y = -（x - 2m）（x - 4m），与 y = ax2组成方程组，消去y得（a + 1）x2 - 6mx + 8m2 = 0，由抛物线与二次函数y = x2 - 2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，可知Δ = 36m2 - 32m2（a + 1） = 0，解得a = [18]. 可以验证，其他类型的函数均不成立. 故应填y = ax2.

③∵二次函数y = x2 - 2mx及它的“孔像抛物线” y = -（x - 2m）（x - 4m）与直线y = m有且只有三个交点，由图象可知，直线y = m过点A（此时m = 0，不合题意）或过其中一条抛物线的顶点，所以m = m2或m = -m2，解得m = 1或-1.

点评：本题文字比较多，信息量较大，要认真阅读，弄清新定义的概念“孔像抛物线”  的本质，通过填表、画图、计算、推理，数形结合地解决问题. 在解决“探究问题” 部分时，求出“孔像抛物线”L'的解析式为y = -（x - 2m）（x - 4m）是关键.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）