以直观模型支持算理理解

陈小玲

【摘   要】学生理解小数除法的难点是对整数部分余数的处理。基于学习路径分析的“小数除法”单元整体教学，在学生学习列竖式解决小数除法计算问题之前，增设一节指向算理理解的操作活动课。引导学生以直观模型为媒介，积累先转换计数单位，再将同单位的数合并、均分的活动经验，帮助学生理解小数除法的算理本质，沟通算法与算理之间的联系，为后续竖式意义建构打下思维与活动经验基础。

【关键词】小数除法;直观模型;算理理解;活动课

从基于学习路径分析的单元整体教学视角思考小数除法单元的教学，我们得出小数除法单元的核心学习目标是理解算理并掌握竖式算法。通过学习起点分析，可知大部分学生能够用自己的方法解决有关小数的实际问题，在竖式书写中知道整数部分有余数时还可以继续往下除，但不知道如何将整数部分的余数进行转化处理。据此，我们确定本单元的主要学习路径为：①建立小数平分模型，理解如何對整数部分的余数进行转化处理;②结合平分模型，以算理理解支持竖式记录的意义建构;③理解除数是小数的小数除法的算理并掌握竖式算法。

在整数除法的学习中，学生会借助直观模型，通过“分一分”“算一算”这两大操作活动来理解算理。但在小数除法的学习中，很多教材提供的现实模型都仅限于抽象思维层面，而没有具象操作层面。在运算教学中，直观模型在促进学生理解算理方面有十分明显的效果，特别是小数除法竖式中对于整数部分余数的转化处理，更需要借助直观模型来促进学生的理解与建构[1]。因此，在新授课之前的操作活动课中，我们创设了分钱的现实情境，借助直观模型“平分人民币”，让学生经历换钱、分钱的过程，从而理解小数除法的算理本质——逐步细分计数单位。

【教学过程】

（一）分一分，在操作活动中感悟计数单位细分的必要性

教师出示任务一：5个小伙伴收集了一些废品，一共卖了11.5元钱。平均每个人可以分得多少元？

1.想一想，说一说

课件出示：废品站的叔叔给了他们1张10元，1张1元，5张1角的钞票，要将这些钱平分给5个人，会遇到什么问题？

生：1张10元无法分给5个人，因为人民币不能撕毁。

生：1张1元也无法分下去。

学生达成一致意见：因为10元、1元面额的人民币不能分，所以要换成面额更小的钱才能将钱全部分下去。

2.写一写，换一换

课件出示：每个小组有一次兑换零钱的机会。请先想好如何兑换，再到“零钱银行”按需换取。

师：你们小组想如何换钱？讨论后，请将换钱方案写在记录单上。一会儿拿着你们的记录单来换取零钱。

学生小组内商量如何换零钱，并做好记录。之后，各小组依次到零钱兑换处兑换零钱。可兑换的币值只有1元和1角的，如果学生要求换其他币值的，教师予以提醒。

3.分一分，记一记

课件出示：小组内将兑换好的11.5元钱平分给5个小朋友，并用算式记录每次分的过程（结果以元为单位）。学生组内动手分钱，做分钱过程的记录。

4.活动反馈，全班交流

学生在换或分的过程中，会出现一些典型的课堂生成。教师基于学生的分法组织学生交流、修正。

（1）反馈换钱方案

师：对于第一种换法（如图1）和第二种换法（如图2），你们更倾向于哪一种？

生：第二种方法，更方便分钱，不需要拿着那么多的零钱。

生：第二种方法可以直接把钱分给5个人，不用分得那么碎。

师：两种换法都是对的。但正如同学们所说，第二种方法更简洁。

（评析：设置适切的问题情境，凸显矛盾——无法分钱，要换成面额较小的钱。学生将11.5元换成115角，就是将小数除法的计算转化为整数除法的计算，能解决实际问题。然而，这种方法并不能很好地帮助学生体会小数除法的算理本质。而第二种换钱方法，体现了计算过程中对余数或分不下去的大面额人民币的转化处理，即将其兑换成下一个计数单位再分，有助于学生建构直观模型并理解算理本质。因此，引导学生排除第一种方法，方便后面的聚焦讨论。）

（2）讨论分钱记录

师：这两种记录方式哪一种更符合我们换钱、分钱的实际情况？

生：第二种方法（如图4）更符合。第一种方法（如图3）中，1元是分不了的，要把1元换成10角，才可以平均分。（学生说，教师及时在学生作业旁记录）

师：也就是说，第二种方法确实是把刚才换钱、分钱的实际情况给记录下来了。

师：那么再看第三种方法（如图5），你能看懂吗？符合我们换钱、分钱的过程吗？

生：我认为不符合，剩下的1元已经换成10角，应该把1.5÷5=0.3（元）改成15角÷5=3角。

（教师及时在学生作业旁记录）

师：这里的15角是怎么来的呢？

生：剩下的1元换成10角，加上原来的5张1角，合起来就是15角。

师：明白了。这里是把换的10角和原有的5角合在一起再平均分，每人分得3角。

（教师将图3和图5的记录放在一起，引导学生做对比）

师：请同学们观察图3和图5中修正后的记录，它们有什么不同之处？

生：第一种方法是先分10角，再分剩余的5角，第三种方法是把10角和5角合起来一起分。

师：也就是说第一种方法是先分10角，再分5角，第三种方法是10角和5角合起来分一次。你们组是怎么算的呢？

生：我们是分开算的。

师：那现在再让你分一次，你会怎么分？

生：我可能会选择第三种方法。

师：为什么？

生：因为同一单位的可以合在一起分。

师：你的回答引发了我的思考，我们可以把10角和5角合起来分，但是不会把10元和15角放在一起分，为什么？

生：因为单位不同。

师：经过刚才的讨论，哪位同学能把换钱、分钱的过程整理一下？我们一起记录下来。

生：10元=1元×10，1元=1角×10，10角+5角=15角。10元÷5=2元，15角÷5=3角，2元+3角=2.3元。

师：在整个过程中，哪些行为对我们分钱至关重要？

生：换钱，把10元换成10个1元，把1元换成10个1角。

（评析：学生反馈的过程就是他们对换钱、分钱操作过程的整理与反思。在这个过程中，教师引导学生重点反馈：①分的顺序和结果的合理性;②所做记录与分钱过程的相符性。在直观模型表征与算式表征之间建立一一对应的关系。通过关键问题的引领给学生提供更多的思考空间，帮助学生真正理解计数单位细分的重要性与必要性。）

（二）算一算，多元表征理解单位细分的必要性

教师出示任务二：你网购了14米长的绳子，准备做4条跳绳。平均每条跳绳长多少米？

出示活动要求：（1）分一分，算一算，用自己喜欢的方式记录分、算的过程。（2）比较分钱和分绳的过程，想想它们之间有什么共同之处。

师：与之前不同，每位同学要独立完成这次任务。你能想办法完成吗？

学生独立思考并尝试解决问题，记录分和算的过程。反馈交流时，教师展示学生的算法，结合画图、列算式等方式，帮助学生厘清算理。

师：能看懂这份记录（如图6）吗？

生：14米长的绳子平均分给4人，每人先得3米，剩下2米，就不够分了。因为我们学过2米=20分米，所以剩下20分米每人可以再分5分米，也就是0.5米。最后每人分得3.5米。

师：20分米平均分给4人，每人又得5分米。假设分了还有剩余，那该怎么办？

生：那就再换成厘米，继续分。

师：对比“分钱”和“分绳”的过程，它们之间有什么共同之处？

生：其实就是能分的就先分，剩下不能分的就换成能分的再分。

师：不管分钱还是分绳，如果分了以后有剩余，我们就换成小的单位后再分。

（评析：经历了任务一后，学生需要根据获得的经验来整理所吸收的信息。从“分钱”到“分绳”，引领的关键问题都是“遇到分不下去时该怎么办”，情境的迁移，引导学生通过对比思考，理性感知不同情境下互通的算理本质。）

【教学思考】

荷兰数学家弗赖登塔尔曾指出：“算法是一种完全极端的情况，它一旦被掌握，或确信被掌握，人们很可能就不理会它们的来源，甚至认为这件事不值得讨论，但是如果机械地运用算法，就会对数学本身的目标构成危害。”[2]基于此，学生在有关小数除法的學习中，应充分理解算理，并在此基础上进入算法探究。学生对小数除法算理的理解需要借助直观模型，从操作具象到算式抽象逐步深入。他们有了充分的、足够的操作与思考，后续才能在理解与联系的视野下建构用竖式记录计算过程的意义，凸显竖式学习的作用与价值。

（一）借助活动经验，理解计数单位逐步细分

任务一中，当学生拿着“1张10元，1张1元，5个1角”的人民币没办法平均分给5个人时，自然会想到“换钱”。把人民币单位换小，1张10元换成10个1元，1张1元换成10个1角，就可以继续分了。情境迁移为任务二中的“剩余2米怎么办。”同样是换成20分米继续分，如果20分米分了以后还有剩余，就把剩余的“分米”换成“厘米”，再继续分。因为以上活动经验与思考过程充分支持学生感受计量（数）单位逐步细分这一算理本质，所以去除情境后，这些经验足以支撑学生理解竖式中计数单位的逐步细分过程。

（二）建构直观模型，沟通算理与算法的联系

以往学生在解答“将11.5元平均分给5个人，平均每人能分到多少钱”的问题时，用竖式计算11.5÷5，常常纠结于整数部分除完后，剩余部分应写成1.5还是15。有了操作直观模型的活动经验，学生可以在操作步骤与竖式书写步骤之间建立对应关系，思考分钱时分的是1.5元还是15角，明确对整数部分余数的处理方法及算理本质。去除情境后，教师继续引导学生理解15角可以记作15个0.1元，3角记作3个0.1元，从具体到抽象，“沟通直观模型中的计量单位与计数单位之间的联系”[3]。

建构主义告诉我们，在教学中应当注意学生的有意义建构，通过适当的教学策略启发学生自主建构认知结构。本节课的设计从基于学习路径分析的单元整体教学出发，确立建构直观模型，以操作活动支持算理理解的学习目标。让学生在充分的活动与反思中理解计数单位逐步细分的算理本质，不留痕迹地为小数除法竖式学习时理解“整数部分的余数如何处理”以及“小数点位置如何确定”埋下伏笔。

参考文献：

[1]董文彬.基于单位运作视角下的主题单元整体教学构建：“小数除法”教材对比与教学思考[J].辽宁教育，2020（1）：38-43.

[2]弗赖登塔尔.数学教育再探：在中国的讲学[M].刘意竹，杨刚，等译.上海：上海教育出版社，1999：153-155.

[3]董文彬.直观模型：沟通“量”与“数”的桥梁：《小数除以整数》教学思考[J].教育研究与评论（小学教育教学），2018（3）：59-63.

（广东省深圳市宝安区宝安小学   518100）