“速度”之难与教学改进

2021-12-06汤牧文郜舒竹

教学月刊·小学数学 2021年11期

汤牧文郜舒竹

【摘要】小学生在解决行程问题时，常会出现概念混淆等问题。从对速度概念本身的认识出发，反思课程标准要求、教材内容以及教学方式等，针对学生的认知难点提出以下教学建议：通过教学活动发展速度感、“运算”与“关系”并行、从单位化思想理解速度产生的现实意义、通过几何直觀理解速度。

【关键词】小学数学;认知难点;速度;概念教学

速度是小学阶段“数与代数”部分出现频率较高的数学概念，以人教版教材为例，从三年级上册的“多位数乘一位数”到六年级下册的“比例”，涉及速度概念的章节达14个，而后续初高中对于加速度、瞬时速度、平均速度、速率等概念的理解都依赖于学生在小学期间对速度概念形成的基础。速度除其本身的知识属性外，也是学生理解运动、对时空关系建立初步理性认识的开端。速度的学习涉及路程、时间、速度三者的关系，对学生的比例思维发展、后续的函数学习，以及关系模型的构建等均有奠基作用。然而，小学生对于速度概念的理解并非一蹴而就，通过对皮亚杰（Jean Piaget）等人有关儿童教育理论的研究可知，儿童速度概念的认知发展过程存在阶段性[1]5、不均衡性[1]21、缺乏守恒性[2]等特征，影响儿童对速度概念的理解，因此速度概念的教学需要从学生的认知难点出发。

一、对速度概念的再认识

（一）速度、时间、空间和运动的内涵与关系

人教版小学数学教材对速度的界定是“每小时（或每分钟等）行的路程”，物理学认为“速度是反映物体运动方向和位置变化快慢的物理量”，前者是发生式定义，包含了时间和路程两个重要的要素;后者是描述性定义，反映了速度与运动的本质联系。黑格尔（G.W.F.Hegel）认为“速度作为运动的量，是与流逝的特定时间成比例的空间”[3]59，因此从哲学的角度看，速度反映了时间和空间的关系。时间和空间是描述物体运动的两个维度，二者互相依存，形成一个不可分割的整体[3]61。空间是指同时发生运动的物体的位置变化，小学阶段学习的路程是忽略了方向的位移量。时间与空间在一起构成了表征物体运动的有序关系的总和。[4]2因此速度反映的是运动物体时、空这两个不可分割的属性之间的关系。

（二）速度中渗透的比例思维

小学阶段接触的比可以分为同类量的比和异类量的比。同类量的比包括倍数、分数等，具备无量纲性[5]，主要是对算法的学习和巩固，而比例思想中更为深刻的是异类量的比。异类量的比是在度量的基础之上发展而来的对不同类量关系的映射，是人在心智（mind）层面对两个客观广延量（extensive quantity）之间存在关系的抽象概括，被称为强度量（intensive quantity）[6]，是依赖于人的推理活动主观生成的。其现实意义是为了反映一个事物的内在性质或优劣程度[7]，如密度、浓度、压强等。通过对影响事物本质的关键要素构建比例关系，可以形成判断事物优劣程度的度量指标。这样根据两种量之间的比例关系获得判断的过程是比例思维的重要表现形式，当比率固定时，比例反映了两个关联要素之间的协变关系，是函数思维在小学的初步渗透，其本质是研究变与不变关系的模型。速度反映的是运动物体的内在性质，通过空间和时间两个维度的量的变化构建度量指标，二者为异类量，其比值反映了运动物体的快慢程度。

（三）速度蕴含的极限思想

14世纪40年代前后，人们开始意识到物体从一点到另外一点或从一个时刻到另外一个时刻的质的强度变化可能是均匀的，也可能是非均匀的，例如在匀加速运动中，物体在给定时间t内经过的路程s等于用相同时间以平均速度走过的路程，平均速度就是初速度v0和末速度vt的算术平均值，即[s=1/2（v0+vt）]。14世纪，法国数学家奥雷姆（N.Oresme）基于以上认识提出了在匀加速运动中用水平直线表示时间，直线上的每一点代表一个时刻，每一个时刻对应一个速度，该速度用一条垂直于水平直线且经过对应点的线段来代表，其长度是速度大小，时间的水平线和代表速度的线段所围成的三角形的面积就是时间t内走过的路程，时间的中间量D是速度之半，即平均速度，三角形ABC的面积等于同样以时间t为长，平均速度为宽的矩形ABGF的面积，而时间t1到时间t2走过的路程就是由t1和t2之间的水平线段与速度v1和v2所代表的线段共同构成的梯形的面积。试将[0，t]分成n个子区间，当n趋于无穷时，每两个时间点之间的间隔（[?t=tk-tk-1]）足够小，如果水平线与两条代表速度的线段所围成的梯形的上底和下底的长度趋于相同，那么vk或vk-1都可以作为平均速度，再乘以[?t]就会得到梯形Sk的面积的近似值，所有这样的面积之和等于三角形的面积，也就是物体走的路程。[8]

随后，奥雷姆不断地力图构建几何与代数紧密联系的范式，将水平方向所代表的数值大小看成经度（longitudes），将垂直于水平方向的数值大小看成纬度（latitudes），构建了坐标系的模型，这样看似孤立的速度、时间、路程都成为连续的变量，每一点的瞬时速度在极限的概念下趋于与这一点相邻的两个时间点所构成的时间段内的平均速度，且更加形象地诠释了速度、路程和时间三者的关系，路程在解析几何的范畴内以二维的面积表征与单维的速度和时间构成了相互依赖的关系，这样的推论在非匀加速运动中同样成立，从而突破了人们对于非匀速、非匀加速运动认识的局限。

（四）儿童对速度的认知阶段

1.儿童对速度影响要素的认知阶段

（1）依赖“超越”现象阶段

皮亚杰在低龄儿童身上看到了对“超越”现象的顺序直觉，这意味着低龄儿童已经有了时间顺序和空间顺序，但此时他们并没有形成有关时间的长短和所经过的空间位移的衡量，所以儿童最早产生的速度概念并不依赖于路程或时间的概念，而是伴随着次序出现的。[1]145在此阶段，儿童能够不依赖于路程的长短或时间的长短，而依赖于“超越”现象对速度的大小进行直觉判断，主要关注两个比较对象位置的先后顺序，以停止点的先后顺序判断速度的大小，这个阶段的儿童一般处于学龄前的阶段。[9]

（2）距离概念得到发展的阶段

该阶段儿童对距离的概念开始逐渐发展起来。皮亚杰发现在这个阶段，儿童能够根据实验中两辆小车的起点和终点位置对距离大小进行判断[1]221，有学者通过实验发现7岁儿童对于距离的概念明显优于5岁儿童[10]，距离的概念先于时间的概念得到发展[4]293，此时儿童仍然有根据停止点判断速度大小的倾向，但距离的概念已经开始影响儿童对于速度的判断，儿童有从“同则同”转为“多则多”的理解转向[11]，该阶段持续时间一般从入学到三年级前。

（3）过渡阶段

该阶段儿童对于速度、时间、路程三者建立了正确的关系意识，能够注意到时间、距离因素对速度大小的影响，例如能够理解在相同时间的情况下路程与速度的关系，即“多则多”，能够正确使用规则，但如果路程和时间同时发生变化，儿童对三者具体关系的阐述开始出现不稳定现象，如“更远的距离—更少的时间”[12]，该阶段持续时间为三年级到五年级。

（4）稳定阶段

该阶段儿童能够兼顾速度、时间、路程三者的关系，明确知道速度的大小受路程和时间两个要素的影响，能够对三者的变化规律进行推理，能够比较路程和时间都不相同的两个运动物体的速度大小关系，对速度大小变化的认识趋于稳定状态，该阶段普遍被认为在五年级之后。[1]59

2.儿童对速度中的比例关系认知阶段

（1）单一维度影响阶段

该阶段儿童在对比例关系变化进行判断时往往只考虑单一维度所造成的影响，例如对速度大小进行判断时只考虑距离或时间其中一个变量对速度大小的影响，且更倾向于选择其中较引人注目的一个优势维度进行判断，儿童对路程概念的发展先于时间概念的发展，故认为路程为优势维度更易影响儿童对速度变化的认识。

（2）从属维度影响阶段

该阶段儿童对比例关系的变化开始脱离单一维度的判断，此时相较于优势维度处于劣势的从属维度同样成为儿童对比例关系的考量要素。西格勒认为，第二阶段的触发是源于主导维度的数值相同，无法通过比较进行判断时儿童会开始考虑从属维度，在路程模型中，儿童开始注意到除了路程会影响速度以外，时间也与速度的大小有一定的关系，当路程相同时，儿童开始思考通过时间的长短比较速度大小，认识到优势维度和从属维度的大小变化都会影响比例关系的变化，对比例关系中“变与不变”这一对立关系中的“变”产生了相对稳定的认识。

（3）恒定其一阶段

该阶段儿童开始认识到只要保持距离或时间中一个维度的量大小恒定，就可以通过另一个维度的量的大小对速度大小进行判断，即掌握“相同时间比路程，相同路程比时间”的规则。儿童虽然能综合考虑两个维度，但必须建立在能找到相同变量的基础上，如果遇到一方在优势维度上的值大，另一方在从属维度上的值大，儿童就会再次产生困惑，无从判断。另外，儿童对于正比例关系的理解要优于反比例关系，即“相同时间比路程”对儿童来说更简单，“相同路程比时间”对儿童来说更有挑战性。

（4）综合判断阶段

该阶段儿童能较为深刻地理解距离和时间的比例关系，能在任何情况下综合考虑两个维度的量的大小变化对速度大小产生的影响，按科学的规则来解决问题。辩证地理解“变与不变”，认识到当速度不变时，路程与时间存在协变关系。

二、小学生速度概念发展的认知难点

认知难点需要依据学生学习及认知发展规律而确定，学生在对客观事物进行主观判断时出现偏差，究其原因，一是与其自身原有经验相悖，二是与个体所接受的直观表象相悖。从郜舒竹教授提出的“变教为学”[13]的观点出发，教学难点应以学生的认知难点为依据，速度概念的教学应根据学生对速度概念的认知难点而设计。

（一）概念混淆

在行程问题中，常见的一种情况就是单位使用错误，学生在使用速度单位时并不理解速度单位的本质含义，常常把速度单位写成路程单位。如学生在解决一道相遇问题时，题目中给出了甲、乙两者的速度，学生将甲、乙的速度相加，在得到的答案后面写了路程的单位（如图2）。学生这样做，可能是想表示甲走了一小时的路程加上乙走了一小时的路程。鉴于这位学生没有表述“速度乘以时间”这一步骤，故更倾向于认为该学生是将甲、乙速度相加所得到的共同速度当成了路程或路程的一部分。这样的解题过程看似单位使用错误，实则是对速度与路程两者概念的混淆，对速度概念的不理解。

速度本身代表的是路程与时间的比例关系，速度本身并不具备可直接测量的性質，需要通过路程和时间的比而得到，所以其单位反映的是“速度是度量两种量关系”的特征，是由两个不同类量度量单位的比构成的。速度本身既不是路程，也不是路程的一部分或是时间，它仅表示路程和时间的关系。对速度进行叠加需要建立在儿童理解甲、乙两者在共同时间内走的路程的背景下方能进行，从速度作为强度量的本质而言，其主要体现的是乘法性质，将两个强度量叠加的操作在大部分真实情境下不具备现实意义。

（二）数量关系建立紊乱

在解决行程问题时，学生常出现“用时间除以速度求路程”或“用路程乘以速度求时间”的情况，图3中显示学生将求得的速度除以时间得到路程，其问题在于学生对数量关系的理解出现紊乱，无法建构正确的路程模型，导致公式使用错误。

学生在解决行程问题时，对路程、时间、速度关系的认知停留在知二求一的理解水平[14]，即在题目中找出两个已知量就可以求出一个未知量，却并不明晰已知和未知之间关系的实质。路程、时间、速度三者间互为比例关系，时间一定时，路程与速度成正比，路程一定时，时间与速度成反比，速度一定时，路程与时间成正比。在行程问题中，仅将数量关系的建立视为知二求一的运算关系是不够的，三者的实质是依赖与制约的协变关系，协变关系是学生认知的难点。

（三）认为平均速度等于速度的平均

六年级学生遇到求平均速度的问题时往往会产生错误，例如下面的案例。

甲、乙两地相距1800千米，一架飞机以每分钟9千米的速度从甲地飞往乙地，飞回时的速度是每分钟7.2千米，飞机的平均速度是每分钟多少千米？

许多学生列式：（9+7.2）÷2=8.1（千米），此时学生的认知难点有如下两点：其一在于受到了前面学习的平均数知识的干扰;其二就是对所学概念本身的曲解。在小学阶段，学生通过路程模型求出速度是物体在一定的空间和时间中运动的平均速度，而我们日常生活中常常使用的速度也是指在某一时间段内的平均速度，如“步行速度”“发展速度”等，但我们在表述时把“平均”二字省略了，故小学生并不理解我们所接触的、计算的都是平均速度，而容易将速度理解为物体此时此刻的速度，这时学生将速度看作引起物体运动的“因”，因为有了速度，物体才发生位移，并保持一定时间的运动状态。在这样的观念下，学生更倾向于认为速度本身的发展并不受路程和时间的制约，速度的大小变化影响了运动的距离和持续的时间，削弱了对于路程和时间两个维度的心理地位，此时速度的大小在学生的认知里就是一个孤立存在的数值，平均速度不受路程与时间的制约，而只受速度本身的大小变化的影响，所以平均速度就像求平均数一样，反映的是两段路程的速度的平均，这样的典型错误思路还反映在求“上山和下山的平均速度”“去程和返程的平均速度”等问题上。而实际上，从比例思维的角度看速度，更趋向于将平均速度理解为“果”，因为先有了运动的状态，物体在时空两个维度发生了量的变化，才有了表征这样变化的需要。平均速度的问题实则反映了学生对速度的曲解，平均速度反映了两段路程的整体速度水平，与其中任何一段的速度以及任何一时刻的速度无关。

三、基于认知难点对课程标准、教材和教法的分析

（一）课程标准

小学阶段从三年级上册开始出现有关速度的教学内容，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中小学部分关于速度的教学目标阐述得相对较少，仅在“数与代数”第二学段的具体教学内容中提出“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”[15]，没有明确提出对儿童速度概念学习的具体教学内容。但《课程标准》中却明确提出认识时间单位（如对时、分、秒、年、月、日等概念的认识）和认识空间单位（如对米、分米、毫米等概念的认识）等，因此作为有一定认知难度的速度概念，《课程标准》中没有对其概念掌握做出明确要求，容易造成教师和学生对于速度概念的轻视。

（二）小学教材

各个版本的小学数学教材中关于速度的呈现方式和编排顺序都有差异，以人教版和北师大版为例，这两个版本的教材均在四年级上册引入了速度的概念。人教版教材在四年级上册“三位数乘两位数”后引入速度的概念，北师大版教材在四年级上册“除法”的学习内容后引入速度的概念。两个版本的教材均将“概念引入”部分放在算法学习之后，这样安排的目的是对于所学习的算法，建立有实际意义的数量关系模型，进一步巩固算法的习得成果。而对速度本身的内涵与价值无法通过算法的学习与巩固而获得，速度反映的是比例思维、关系思想、函数思想等重要内容，如果将其看成单纯乘法或者除法运算，则显得“大材小用”。

（三）教法

小学教师对于速度概念的教学一般是创设比赛的活动情境，在情境中要求学生“根据固定的时间比路程”“根据固定的路程比时间”，让学生感受速度受到路程和时间两个量大小变化的影响，再通过数值的代入验证速度与时间、路程的关系。在这样的教学情形下，教师趋近于将速度看成两个数的比值，而不是两个量的比值，其实质是变换了情境的除法教学或分数教学，忽视了速度作为异类量的比，反映了物质本质的属性。在速度概念的教学中鲜有教师能注意到对速度的价值与意义、其本身蘊含的比例思维进行剖析。在引导学生认识速度受两个维度的共同影响时，教师往往更注重模式化的机械记忆。笔者曾听一位教师要求学生反复齐读“相同时间路程越长速度越大，相同路程时间越长速度越小”，而非对其关系进行深入探究。在解决行程问题的时候，教师更趋向于教学生理解每个单位时间物体走的路程即速度，这样的教学容易引导学生产生“速度是路程或路程的一部分”的错误认识，将速度与路程的关系理解为部分与整体的关系，给学生带来不必要的思维干扰，甚至影响后续对于瞬时速度、加速度等知识概念的学习。

四、教学建议

（一）通过教学活动发展速度感

速度是客观存在的，但人可以通过观察物体的运动来获得速度感（Speed Sense）。[16]皮亚杰的实验回答了爱因斯坦“速度是先验的还是后天习得”的问题，低龄儿童同样具备对速度的感知，只是低龄儿童的感知更加依赖于直观表象，例如通过“超越”现象来判断物体运动速度的快慢，在判断速度快慢时会考虑单一维度对速度造成的影响。此时学生的认知发展还停留在“眼见为实”的阶段，选择相信自己所看到的，而缺乏逻辑推理能力，对事物的判断以自我为中心。而随着学生对于速度概念的发展进阶，他们对速度的感知从感觉（sensation）转化为感受（feeling），从依赖直觉转化为依靠推理的心智活动。对速度概念的教学就是不断修正儿童对于速度的认识的过程，可以通过教学活动让儿童发现经验直觉并不可靠，如那些“多则多”“少则少”的想法，可以通过感受推理的过程发现依赖表象背后产生的误区，这样的过程是从依赖直观的感性思维水平逐渐进阶到以推理能力为内核的运算思维水平。

（二）“运算”与“关系”并行

皮亚杰认为比例图式的增长在儿童对速度概念的发展中起着核心作用。[1]88在对速度概念的教学中，教师往往更加关注速度作为运算结果而存在，将速度教学视为算法教学，而忽视了速度反映的比的“关系”哲学。在学生发展比例思维的过程中，将比看作一种运算，窄化了比的内涵，比反映的是变化中不变的关系，是沟通两个不同类型的广延量的桥梁，是人主观上对关系量化的生成。速度概念的教学是引领学生理性认识关系的活动，是为了消除或缓解学生在关系认知中出现的矛盾，如为什么单一维度的变化不能用来衡量比值的变化？两个维度的量同时变化时，速度一定会维持不变吗？两个异类量的比代表的现实意义是什么？在教学的过程中应均衡和综合对比例图式“运算”和“关系”的内涵的理解。

（三）从单位化思想理解速度产生的现实意义

单位化的思想是人希望用量化形式去描述客观世界存在的物质的一种主观愿望，如对运动物体的描述，快与慢是对运动质性的描述，质性描述存在的弊端就是缺乏标准，究竟什么样的运动状态是快，什么样的运动状态是慢呢？我们常常因为对质的描绘而被这样的问题问得哑口无言，我们需要有一个度量的工具帮助我们回答这样的问题，就像我们使用的尺子一样，通过尺子告诉别人一个物体究竟有多长，有多短。单位化（Unitizing）的思想过程是人主观思考和选择“一”的过程，通过“一”去衡量“几”或“多少”，具有确定的意义。[17]在速度概念的教学中，这样的单位化思想是对于速度价值意义最好的诠释，当我们需要告诉别人一个物体的运动究竟有多快或者多慢时，我们也需要有一把量尺，把运动物体时间和空间复合而成的区域分割成一小块一小块相同的标准量来进行量化，这些小块都是“一”。那么从两个维度分别来看，衡量路程的量尺是1米、1分米、1厘米、1毫米等，衡量时间的量尺是1小时、1分钟、1秒等，衡量速度的量尺必然是两种不同类量的度量标准的复合，要反映二者的关系，即考虑在时间和空间两个维度复合而成的标准量，速度是单位时间路程的数量，也可以是单位距离所花费的时间。通过速度来衡量物体运动的快慢，其实就是把单位时间走的路程看成了“单位1”，用若干个单位时间走过的路程来衡量运动的快慢。

（四）通过几何直观理解速度

在对速度概念进行教学的时候，因为速度是不能通过直观感知的，是通过两个量复合而成的……有教师形容速度的教学是“皇帝的新衣”，像对着一群小孩撒谎，讲一个自己也看不见摸不着的东西，这样的无实物教学令人头疼。但通过几何直观就可以很好地解释这个问题，小学阶段学生接触的路程模型中速度指代的是平均速度，因为习惯用语而简称为速度。速度和时间的乘法模型、路程与速度和路程与时间的除法模型，都可通过几何直观的形式，将抽象的速度转化为直观的几何形式，通过速度的几何意义帮助学生理解其代数意义。例如面积模型就可以很好地反映速度与时间的乘法模型，体现的是乘法中累加的性质，将若干个标准速度与标准时间的乘积进行累加形成了路程，每一小格的面积代表了衡量路程的标准（如图4）。

线段图实际上是除法模型，通过分割的形式来呈现路程与速度、路程与时间比的关系。教学过程中，通过线段图可以让学生发现，如果把一条线段分得越多，那么每一小部分的长度就越短;如果把一条线段分得越少，那么每一小部分的长度就越长。分的份数与每份的长度呈此消彼长的关系（如图5、图6）。

总之，速度对于学生今后的数学以及科学的学习都至关重要，需要在课程设计以及教学中引起足够的重视。

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