核心素养背景下函数周期性的教学与思考

◎丁春年

(甘肃省武威第十八中学，甘肃 武威 733000)

2020年4月，甘肃省武威市教育科学研究所在我校举办了以“立足教材资源，提升核心素养”为主题的教研活动，笔者做了“函数周期性的教学与反思”的报告，得到了与会专家的点评.结合专家的点评，笔者对函数周期性的教学进行了深入思考，进而对核心素养背景下的数学教学产生了一些感悟.

《义务教育数学课程标准》对函数的周期性给出了具体的要求：以三角函数为依托，了解函数的周期性，并理解其几何意义.《义务教育数学课程标准》中对函数周期性的定位虽然是“了解”，但对函数周期性概念的建构过程却不是一个简单的“了解”就能达到的，这是因为函数周期性的建构不仅蕴含了丰富的数学思想，而且有利于培养学生的数学素养.因此，在函数周期性概念的教学中，教师不仅要让学生深刻理解函数周期性的概念，而且要帮助学生打通函数的周期性、奇偶性以及函数图象的对称性的关节点，进而突破学习的难点.

1 回归教材，溯源函数周期性的概念

函数的周期性概念和函数的奇偶性概念有着相同的建构过程，它们都是先通过对一些现实世界中的自然现象进行抽象，再结合一些具体的函数进行概括而形成的数学概念，但它们在教材中的出现却不是同步的.函数的奇偶性概念的给出较早，它在函数的概念之后就粉墨登场了，而函数周期性概念的给出比较滞后，可以说有点“姗姗来迟”，给人以“犹抱琵琶半遮面”的感觉，教材这样安排有其深意，这是由于函数周期性概念的理解相对于函数单调性、奇偶性概念的理解有一定的难度.函数周期性的概念是抽象的，学生在学完函数的概念及其性质之后，虽然在头脑中已然扎了一些具有周期现象的生活实际的“根”，但又苦于没有与此对应的具体函数佐证，这样的“根”就不会发芽.在初次接触函数的概念及性质时，学生对基本初等函数的认知较少，这些具体的函数不具有周期性.而在学习正弦函数、余弦函数时，学生才通过正弦曲线、余弦曲线的变化规律体验了函数的周期性.通过具体函数的周期性抽象出函数周期性的概念，符号学生的认知规律，也体现了《义务教育数学课程标准》对周期性概念的学习要求.

2 回归教材，解读函数周期性的概念

教材中函数周期性概念的给出凸显了学生对概念理解的认知规律；展示了以教材内容为素材，培养学生核心素养的理念.首先，在“三角函数”这一章的开篇就给出了一些具有周期性变化的自然现象，通过这些自然现象的引导，学生会不自觉地联想到自己身边的许多具有周期性的自然现象和社会现象，这样安排的目的是给予学生观察周围世界的数学眼光.其次，从任意角的三角函数的定义来看，在一条射线绕其端点旋转的过程中，会定义不同的三角函数值.以正弦函数为例，在一条射线从起始位置旋转一周的过程中，产生了无数个正弦函数值.当这条射线继续旋转时，正弦函数值会循环出现，这种奇妙的数学现象反映了正弦函数的周期性.正弦函数的此种变化规律用数学语言刻画就是诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z,此处凸显了以数学语言描述问题的核心素养.最后，认识正弦函数f(x)=sinx的图象，通过正弦函数的图象，其周期性一目了然.为使学生能通过具体的正弦函数值的变化规律抽象出一般函数周期性的概念，教师在教学中可进行如下问题设计：

问题1 根据诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，对于正弦函数f(x)=sinx，自变量x每增加一个常数2π时，其函数值有怎样的变化？

问题2 观察正弦曲线在区间[0,2π]内及区间[2π,4π]内的图象，你有什么发现？

设计意图 问题1：从学生熟悉的诱导公式入手，通过阅读数学表达式中的数学语言，回想正弦函数的定义过程，学生能真正体验简练的数学语言所表达的无穷魅力，进而提升学生的数学语言素养.同时，学生的头脑中也能根植函数周期性概念的抽象形式：f(x+T)=f(x).

问题2：从学生熟悉的正弦曲线入手，让学生从“形”的角度体验正弦曲线在每间隔长度为2π的区间上重复出现，让学生直观感受正弦函数的周期性.

对于函数周期性定义式f(x+T)=f(x)的抽象，我们认为可结合诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)、奇函数及偶函数的定义式进行数学抽象.类比奇函数、偶函数的定义，进行如下教学设计:

如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：

f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函数；

f(-x)=f(x)，那么f(x)叫做偶函数；

f(x+T)=f(x)，其中T是非零常数，那么f(x)叫做周期函数.

3 超越教材，探究函数周期性的概念

教材只给出了周期函数的定义式，但函数的周期性与函数的其他性质又有怎样的联系呢？基于对周期函数的图象特征的考量，函数的周期性概念教学在正、余弦函数的性质时首次亮相，而对称性是正、余弦函数的图象所固有的，它们之间有何关系呢？由于教材的篇幅所限，这些问题在教材中没有具体回答，因而给我们留下了可以进行深入探究的空间.经过探究，笔者发现了以下结论：

推论1若曲线f(x)关于直线x=a及x=b对称，则函数f(x)为周期函数，其中T=2|a-b|为f(x)的一个周期.

证明依题意，有f(a+x)=f(a-x).

以a-x代替x得f(x)=f(2a-x).

同理，f(x)=f(2b-x)

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函数f(x)为周期函数，其中T=2|a-b|为f(x)的一个周期.

评析曲线f(x)关于直线x=a及x=b对称，即满足f(a+x)=f(a-x)及f(b+x)=f(b-x).也就是说，若一个函数的图象关于两条直线对称，则此函数是周期函数，并且这两条对称轴间的距离为函数周期的二分之一.

推论2若函数f(x)为偶函数，且满足f(a+x)=f(a-x)(a为非零常数)，则函数f(x)为周期函数，其中T=2a为f(x)的一个周期.(证明略)

评析推论2实际上是推论1的一个特殊情况.由于函数是偶函数，因此其图像自身就有一条对称轴.但是，推论2却揭示了函数的周期性与奇偶性之间的关系，给函数的性质间搭建了联系的桥梁，也给命题者在命制函数试题时提供了命题点，因此，推论2是解决与函数周期性有关的题目的有力工具.

推论3若函数f(x)的图象关于点(a,0)，(b,0)对称，则函数f(x)为周期函数，其中T=2|a-b|为f(x)的一个周期.

证明：因为函数f(x)的图象关于点(a,0)，(b,0)对称，所以f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=-f(x).

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函数f(x)为周期函数，其中T=2|a-b|为f(x)的一个周期.

评析函数f(x)的图象有两个对称中心，类比正弦曲线的特性，这两个对称中心间的距离为函数周期的二分之一.

推论4若函数f(x)为奇函数，且图象关于点(a,0)对称(a为非零常数)，则函数f(x)为周期函数，其中T=2a为f(x)的一个周期.(证明略)

评析推论4是推论3的特例.由于函数是奇函数，其图象自身关于原点对称.推论4和推论2结合起来，是对函数的奇偶性与周期性关系的完美诠释，体现了数学知识之间的相互渗透、相互交融，充分展示了数学之美.

推论5若函数f(x)的图象关于点(a,0)及直线x=b对称，则函数f(x)为周期函数，其中T=4|a-b|为f(x)的一个周期.

证明：由已知得f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=f(x).

所以f(2a-x)=-f(2b-x).

以2b-x代替x得f(2a-2b+x)=-f(x)，

以2a-2b+x代替x得f(4a-4b+x)=f(x).

因此，函数f(x)为周期函数，其中T=4|a-b|为f(x)的一个周期.

评析函数f(x)的图象有一个对称中心和一条对称轴，类比正弦曲线的特性，对称中心到对称轴的距离为函数周期的四分之一.

4 结论应用

例1设f(x)为定义在实数集R上的偶函数，且它的图象关于直线x=2对称，已知当x∈[-2,2]时，f(x)=-x2+1，求x∈[-6,-2]时，函数f(x)的解析式.

解析由推论2可知函数f(x)是周期函数，且周期为4.

因为当x∈[-6,-2]时，x+4∈[-2,2]，

所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1，

即f(x)=-(x+4)2+1.

评析本题是利用周期性求函数解析式的问题.利用函数的周期性，根据函数在一个周期内的解析式，可以求出函数在另一个周期内的解析式，甚至求出整个定义域上的解析式.此外，本题也给出了除三角函数以外的周期函数，有利于学生认清周期函数的面目.

例2已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析因为f(0)=0,f(1)=2，所以由推论5可知函数f(x)是周期函数，且周期为4.所以f(0)=f(2)=f(4)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.

因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=2，故选C.

评析本题是一道高考题目.解答此题的要点就在于破题，粗看，函数是抽象函数，没有具体的解析式，因而增加了解题的难度；细看，由于此题所求的是50个函数值的和，因此，函数应该是周期函数，所以要从周期性出发破题，根据函数是奇函数，再由对称性，经过简单的推理，很容易求出周期，从而使问题获解.

5 教学反思

5.1 回归教材，深入挖掘教学资源

教材中蕴含着丰富的教学资源.首先，教材在每一章内容的开篇都给出了一些资料，其作用是提出与本章相关的一些问题，点明为什么要学习本章内容，学习本章内容可以解决一些什么问题.例如，在“三角函数”一章中，开篇给出了具有周期性的一些自然现象，有时间方面的，也有空间方面的.虽然这些现象是学生熟知的，但作为教师，要切实了解学情，对于每一个学生的知识储备、认识问题、理解问题的情况有一个大致的掌握.因此，对于“三角函数”这一章开篇提出的问题，教师可以让学生事先预习，并对照自己的生活经验以及对周围事物的观察，以数学的眼光审视周围具有周期性的各种现象.这样一来，每一个学生都会有不同的观察所得，也都会有不同的体验，如此便可以将周期现象根植于每一个学生的脑海里，进而真正培养学生的数学素养.其次，要深入挖掘教材的习题资源.教材习题中的一部分是基础题，这些题目的设置，巩固了学生所学的知识，还有一部分题目看似安排随意，实则暗藏玄机，它起到了扩展教材内容的作用.因此，对于如此现成的资源，我们不能随意浪费，要合理利用，这样可以极大地调动学生探求知识的积极性，进而培养学生的数学素养.

5.2 数学抽象，凸显数学概念本质

数学抽象是高中数学的核心素养.高中数学中的每一个概念都是通过具体的实例抽象出来的.例如，函数的单调性概念，就是通过研究一些具体的函数，对这些函数共有的表现形式进行数学抽象而得出的.函数的周期性概念的抽象更是如此，是借助三角函数的图象进行抽象的.这种图象特征与学生头脑中事先存储的那些具有周期性的现象相互交汇，为学生的数学抽象奠定了基础，也就是说，学生先前“植于”脑海中的周期现象的“根”，经过直观的函数图象滋润，将会发出周期函数概念的“芽”.教材中对周期函数的定义式f(x+T)=f(x)的给出显得突兀，没有推导这个定义式，这就需要教师的引导.此时，学生头脑中已有的一系列三角函数的诱导公式就成了教师引导学生的“诱导剂”，也是学生进行数学抽象的“助推器”，有了这些“诱导剂”或“助推器”，学生才能顺利完成周期函数定义式的数学抽象.学生在周期函数定义式的数学抽象过程中，要寻找一个与定义式相似的具体形式，这个定义式的具体形式之一就是三角函数的诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z.至此，函数的周期性概念完成了从特殊到一般，从具体到抽象的过程，这样的抽象过程，一方面可以揭示数学概念的实质，另一方面可以培养和发展学生的数学抽象素养.

5.3 高于教材，升华数学概念内涵

教材中的每一个数学概念的得出都不是突如其来的，对于任何一个数学概念，教材都给出了与此概念有关的各种素材，借助这些素材，学生能对数学概念有一个初步的认知，并在此基础上，能利用概念解决一些简单的问题.但对概念的理解并不能仅仅停留在对概念的表层理解上，而要对概念进行更深层次的理解，只有这样，才能深刻把握概念的内涵.例如，在函数的周期性概念的教学中，如果仅仅理解了周期函数的定义式，就认为理解了函数的周期性，那么这样的教学不是深入的教学，它会导致学生对周期函数概念的理解仅仅停留在周期函数的符号表达式上，即便如此，周期函数的定义式有若干个不同的等价形式，如：f(x+a)=f(x-a)，f(x+a)=-f(x) 等，学生是否能通过适当的逻辑推理来证明其周期性呢？另外，以三角函数的诱导公式为具体形式抽象出周期函数的定义式，学生会误认为只有三角函数是周期函数，其他函数都不是周期函数.为消除这种误解，教师可以举一些三角函数以外的周期函数，这样便可使学生消除误解，进而达到深刻理解周期函数概念内涵的目的.

6 结束语

数学概念教学的终极目标是帮助学生透彻理解概念，并能利用概念解决相关问题.如何将抽象的数学概念纳入学生的认知系统是一个值得认真反思的问题.数学概念教学的落脚点是课堂教学，在课堂教学中，教师要将概念的教学动态化，而不是静态地呈现教材中的概念表述，这既有利于学生理解概念，也有利于学生的全面发展.这样的教学，才是有效的教学.