“射线和直线”教学中由学生的质疑引发的思考

李柱俊

【摘 要】在线概念的学习中，学生对点的感知是单一的、不完整的，他们只是将线段“两个头”抽象为端点，不曾感知线是由无数个点构成的。这种认知的局限会给学生后续学习射线和直线带来诸多困惑。虽然教材没有编排对点的专门学习，但作为图形概念抽象的产物，点的学习是不可回避的。学生只有明确了端点、线上的点的含义，才能实现对射线、直线的真正理解。

【关键词】端点 线上的点 线概念 小学数学

一、质疑：直线是怎么来的

射线和直线因生活中本无原型，作为抽象的数学知识，对于小学生来说，无疑在认识上是有难度的，这部分内容的教学对于教师来说也不失为一大挑战。笔者近日聆听了“射线、直线和角”一课，对教学片段中学生的质疑产生了一点思考。

教学时，教师借助激光灯展开教学，把激光灯照射到墙面上，会在墙面上留下一个光点，教师引导学生认识到从激光灯的发光点到墙面上留下的光点，这中间的光线可以看成是线段，并在此基础上引出射线、直线。以下是由射线引出直线教学环节中的师生对话：

师：瞧，这是一条射线，仔细观察（动态演示），这条射线有什么变化吗？这还是射线吗？（如图1）

生：不是，没有端点。

师：不符合射线的特点。像这样的线，数学上把它称为直线，通过你的观察，你能说说直线又有怎样的特征吗？

生1：直的，无限长，没有端点。

生2：我有个疑问，没有端点的话，直线是怎么来的？

师：针对这个问题，谁来谈谈你的看法？

生3：我觉得直线应该是由一点出发，向两端无限延伸。

师：你们同意他的说法吗？

生（齐）：同意。

（听得出这里大多学生是被同意）

师：你们可以想象一下直线的形成过程。

……

二、反思：端点引发的误解

我们常听到这样的口号——读懂学生，读懂教材，读懂课程。为什么把“读懂学生”放在“读懂教材”和“读懂课程”之前？说明“读懂学生”是基础，是关键。只有读懂学生，才能够了解学生的学习现状，才可能生成动态、生动的课堂。基于对这一观点的认同，对上述案例中出现的学生质疑，我们有必要追因索果，真正实现由“读到”走向“读懂”。

1.学习材料对概念的认知产生负迁移

教师在教学射线时，利用激光灯这一素材，引导学生想象在能源充足且无遮挡的情况下，由激光灯射出的直的光线，可以看作是一条射线，进而抽象出数学上的射线。然后，通过把数学化的射线另一端无限延长，就得到了一条直线。学生在没有脱离射线的具体实例的情况下，很容易产生没有激光灯的发光点，如何会产生出一条直线的光线的困惑。生2所说的“端点”有可能指的就是激光灯的发光点。

2.对端点和线上的点的含义理解不清

“没有端点的话，直线是怎么来的”，乍看起来，生2的质疑和教师的问题是不同的指向。教师的问题指向的是直线的构建要素，而学生的质疑指向的是直线是如何得到的，一个指向“是什么”，一个指向“为什么”。但联系生3的回答：“直线应该是由一点出发，向两端无限延伸。”笔者认为，生2的疑问也暴露出学生对端点和线上的点含义理解上的不清。为何端点会惹出这个“祸”，我们有必要先来弄清何谓“端点”？端，从字面上来理解指的是（东西的）头。对于“端点”我们可以这样解释：“空间中一点沿着一定方向和它相反方向运动所形成的图形是直线。直线上任意两点间的部分叫作线段，这两点叫作线段的端点。”在学生的数学学习中，第一次认识端点，就是在认识线段的时候。用手捏住一条线并拉直，两手间的一段可以看成线段，捏住的两头画下来可以用点表示，这两个点在线段中叫作端点。教学时，教师让学生指认捏住的线段时，也是引导学生运用“从一头开始到另一头结束”的句式来描述的，那么出发的地方和结束的地方就是端点，端点表示起点和终点。端点是学生认识的第一个点。学生在初次学习端点时也只是将“两个头”抽象为两个端点，并没有展开点动成线的学习，学生也不曾感知线是由无数个点组成的。也就是说，学生对点的感知是单一的、不完整的，易形成认知的局限——线段上有两个点，叫作端点，其他地方是没有点的。生2的质疑也证实了他们对点认识的局限。当然，不容置疑的是学生对点的认识也是有水平差异的，生3的回答就证实了这一点。所以说，表面上看是“端点”惹的“祸”，实则是学生对点的认识不够造成的。学生对点的认识没有形成足够的经验，拉长了后面学习的跨度，增加了后面学习的难度。由于多数教材中没有编排对点的专门学习，相对于线，学生很少有机会接触到点。那么在教学中，教师该在何时引领学生对点的认识？又应引领学生对点达成何种程度的认识呢？

三、教学建议：实现数学名词的教学价值

教师首先要弄清楚学生对点的感知和经验的积累应该在何时发生？逆向倒推学生的学习过程，笔者发现在二年级初步认识线段时，学生认识到“拉紧的一段线，可以看作一条线段”，这是借助生活原型加以描述，属于静态的概念表现形式，这时的概念呈现形式不便于认识点动成线。而到四年级上册学习“射线和直线”时，在认识射线之前，首先是回顾对线段的认识，此时对线段的认识应该比二年级时要更深一层，材料的呈现应该加强动态化处理：将线段置于动态的概念过程中，赋予端点“起点”“终点”的含义。这里对线段的认识从静态可视的材料走向动态想象的材料，丰富了对线段概念的内容认知，实现了对线段概念分阶段教学的学习进阶。这一阶段的学习中，学生感知到线段上不仅有端点还有许多其他的点，而端点表示的是开始和结束的位置，然后借由线段发生、推理出射线。在射线的学习过程中，学生对点的认识是最适切的时机，也是认识最丰富的时候。在这一阶段对于点的认识应该要形成三点数学活动经验：（1）线上有许多点;（2）端点、线上的点含义不同;（3）线段中的一个端点延伸后变换为射线上的点。在图2中，左边的点表示起点，右边的点表示经过的地方，这个时候原本线段右边的点已经演变成射线上的点了，所以画射线的时候也无须画出右边的这一点。应该说，学生只有明确了端点、射线上的点的含义，才能真正理解射线的本质。学生对射线的本质真正理解之后，自然也不会出现教学片段中生2的那番质疑。

对于直线的教学，上述案例是以射线为落实直线发生式定义、特征学习的着力点。那么，直线的教学以怎样的打开方式更合适呢？我们来看苏教版教材的教师用书对直线给出的描述性定义：“把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。当线段的两个端点之间的间距小到极限时，最终就会形成一个点。”这样的描述与學生3的认识（直线应该是由一点出发，像两端无限延伸）具有一致性。所以，笔者以为对于直线的教学，仍应以线段为着力点，引领学生经历直线的发生、抽象推理过程。这不仅符合学生已有的知识和经验，也符合学生的思维特点和认知规律，更有利于后面对直线与线段、射线的内部联系的加强，有效关联三种线之间的逻辑关系，实现对线概念体系的学习进阶。

注：本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年立项课题“深度学习视域下小学数学课时学习历程案教学实践研究”（项目编号：D/2020/02/71）和南京市教育科学规划第十一期“个人课题”“教学目标引领下小学数学‘结构式课堂提问的实践研究”（市规划个十一字第Gd5426号）的研究成果。