以比较为支点，构建完整的认知结构

焦欢欢?黄德忠

【摘 要】支点，在物理学中是指杠杆发生作用时起支撑作用、固定不动的一点。教学中，支点是指能引起学生高效学习的关键点。本文以“认识百分数”一课为例，以比较为支点，通过比较不同情境的共同点，形成对百分数表示“关系”的认识;比较数形结合点，深化对百分数表示“倍比关系”的认识;比较应用范围的不同点，完善对百分数表示“何种倍比关系”的认识;比较新旧知的异同点，构建完整的“倍比关系”的认知结构。

【关键词】比较 支点 认知结构 百分数

教学中，支点是指能引起学生真正学习、高效学习的关键点。在认知领域中，可以通过支点，起到牵一发而动全身之效，帮助学生形成完整的认知结构。认知结构是学习者头脑中的知识结构。就数学学习来说，认知结构是数学知识在学生头脑里按照他自己的理解深度、广度，结合个人感知、记忆、思维、联想的特点，组合成的心理结构。笔者倡导以比较为支点，通过比较，让学生在“不同”中看到“联系”，在“解构”中进行“建构”，有利于学生构建认知结构。在教学中，不少教师都有意识地引导学生进行比较，但在何处比较，比较到何种程度，不少教师难以准确把握。例如：“百分数认识”这节课，不少教师只是引导学生认识了百分数的概念，鲜有从“倍比关系”角度帮助学生建立完整的认知结构。因此，笔者以“认识百分数”一课为例，阐述如何以比较为支点，构建学生完整的认知结构。

一、比较不同情境的共同点，形成对百分数表示“关系”的认识

概念学习，需要学生在不同情境中去除概念非本质特征，抽取出相同的特征，形成对概念本质的认识。百分数，在不同情境中都有所运用，这需要学生在众多情境中，能比较出不同情境的共同点，挖掘出百分数最本质的特征，形成对百分数表示两个数量之间“关系”的认识。笔者因此展开以下教学：

师：我们看这幅图上写着“已充电98%”，你怎么理解这里的98%？

生1：就是把总容量看作单位“1”，平均分成了100份，已充电是这样的98份。

生2：已充电量和总容量的比是98 ：100。

生3：就是已充电量是总容量的98/100 。

师：看来98%不表示具体充了多少毫安电，而是表示已充电量是总容量的98/100 。

师：那25%呢？

生：把垃圾总量看作单位“1”，平均分成100份，可回收物占其中的25份，也就是可回收物占垃圾总量的25/100 。

师：100%羊毛？

生1：纯羊毛，整件衣服都是羊毛做的。

生2：羊毛含量是整件衣服的100/100 。

师：百分数真神奇，一个百分数里藏着两个数量，带着这样的新眼光，再看你课前搜集的百分数，它究竟表示什么意思？

生1：羽绒占80%，80%表示羽绒含量占整件衣服的80/100 。

生2：装一批货，已经装了75%，75%表示已经装的货物占总货物的75/100 。

生3：海洋面积占71%，71%表示海洋面积占地球总面积的71/100 。

师：观察黑板上的百分数和你搜集的百分数，他们表示的意思有什么共同点呢？

生1：都是谁是谁的百分之几。

生2：都是把两个数进行比较。

生3：都是把单位“1”平均分成100份，其中一个物体占这样的多少份。

师：是的，实际上就表示一个数是另一个数的百分之几，表示两个数之间的关系。

生4：分数表示一个数是另一个数的几分之几，百分数表示一个数是另一个数的百分之几。

师：真好，你把分数和百分数联系起来了！

本环节，教师通过举例学生搜集的“已充电98%”，让学生解释98%的含义，并通过对“100%羊毛”“羽绒占80%”“海洋面积占71%”等例子中“百分数的含义”的讨论，让学生感受到百分数含义内在的一致性。在学生充分感受的基础上，教师进一步提问：“百分数表示的意思有什么共同点？”学生将感性的認识上升为理性的思考——“都是两个数在比较”“都是谁是谁的百分之几”，进而和分数建立联系，分数表示一个数是另一个数的几分之几，百分数表示一个数是另一个数的百分之几，都代表了两个数量之间的关系。教师让学生比较不同情境的共同点，学生在比较的过程中形成了对百分数表示“关系”的认识。

二、比较数形结合点，深化对百分数表示“倍比关系”的认识

心理学家指出，学生学习的过程，也是一个编码的过程。编码分为语义编码和形象编码。研究表明，双重编码有助于学生更深入地理解所学内容。语义编码是以语言的方式理解、建构知识，形象编码是以画图等直观形象的方式建构知识。在数学教学中，数形结合是实现双重编码的有效途径，将抽象的数与具体的形结合在一起，有助于深化学生对百分数的认识。因此，教师可以引导学生比较数形结合点，深化其对百分数的认识。

师：同学们，明白了百分数的意义，老师还给大家带来了百格图，想看吗？（出示百格图，如图1）

师：请你帮帮老师，涂色部分怎么表示？

生：30%，表示把一个大正方形看作单位“1”，平均分成100份，涂色部分是这样的30份。

师：那现在呢？（出示图2）

生：还是30%，3/10=30/100 =30%。

师：如果这样呢？（出示图3）

生：30%。

师：分得更多呢？（出示图4）

生：还是30%。

师：变成正方体了呢？（出示图5）

生：还是30%。

师：比较一下，不一样的图，为什么都表示了30%？

生：虽然图不一样，但通过约分或者通分，最后都变成了30/100。

生：最后涂色部分和整体的比都是30 ：100。

生：都可以变成平均分成100份，取30份。

师：是的，30%表示了涂色部分与整体的倍比关系，只要倍比关系不变，表示的百分数就不变。

学生常会有这样的误区：百分数就是分母为100的分数。如何让学生突破分母为100的认识？笔者认为，比较数形结合点是一种有效策略。通过数形结合，学生深刻意识到未必一定要分成100份，不管是分成10份、400份，还是1000份，只要涂色部分与整体的倍比关系不变，表示的百分数就不变，从而深刻认识到百分数含义的本质是表示两个量之间的倍比关系。通过数形结合点的比较，学生头脑中建立相应的表象，从而实现形象与语义的双重编码，深化对百分数表示的是“倍比关系”的认识。

三、比较应用范围的不同点，完善对百分数表示“何种倍比关系”的认识

学生从最初认识百分数表示两个数量的关系，再到表示倍比关系，学生的认知逐步加深。在此基础上，教师让学生比较百分数的应用范围，探究百分数究竟表示何种量之间的倍比关系，完善对百分数的认识。

师：老师这里也有两个百分数（如图6），你能帮我选一选吗？

174.7%          10%

1.已经下载了整个文件（ ）。

2. 2015年，我国垃圾回收利用量是2006年的（ ）。

生：第一个是10%，表示已经下载的是整个文件的10/100，第二个选174.7%，表示把2006年的垃圾回收利用量看作单位“1”，平均分成100份，2015年的相当于这样的174.7份。

师：比较一下这两个百分数，你觉得位置能交换一下吗？

生：不行，第一个最多是全部下载完，最多是100%，不可能超过100%。

生：第二个2015年的我国垃圾回收利用量是可以超过2006年的，可以大于100%，这说明2015年我国垃圾回收利用量超过2006年的垃圾回收利用量。

师：看来，已经下载的是整个文件的一部分，是不能超过100%，而2016年和2005年的垃圾回收利用量是两个独立的量，是可以超过100%，看来，在表示部分与整体的倍比关系时，百分数不能超过100%，而在表示两个独立的量的倍比关系时，不受100%的限制，是可以超过100%的。

在以往教学中，学生对超过100%的百分数感到困惑，不少教师只是一带而过，而没有充分重视。百分数是否超过100%，这和百分数表示何种倍比关系有关。因此本环节，笔者通过比较两种情境下，174.7%和10%这两个百分数能否互换，让学生意识到：在表示已经下载和整个文件这样部分与整体的倍比关系时，百分数不能超过100%，而在表示两个独立的量的倍比关系时，是可以超过100%的。通过比较应用范围不同点，学生对百分数的认识更加完善、全面。

四、比较新旧知的异同点，构建完整的“倍比关系”的认知结构

教育心理学家皮亚杰提出，人的认知学习过程分为同化和顺应两种。同化是指新知识可以内化到已有认知结构中，而顺应是指学习者需要改变认知结构以此来适应新知。在教学中，教师可以引导学生比较新旧知识的异同点，让学生的认知进行同化和顺应的过程，扩充并改组原有的认知结构。如教师展开以下的教学，帮助学生形成完整的认知结构。

師：接下来哪些分数能改写成百分数，哪些不能？（出示图7）

生1：第一题的第一个分数不能，因为后面有单位，表示具体的数量，而75/100后面没有单位，表示原来是100份，运走的是这样的75份，表示一种关系，而百分数也表示关系，所以75/100可以写成百分数，即75%。

生2：第二题前两个分数后面都有单位，表示具体的数量，不能改写成百分数，最后的50/100表示23/100米是46/100米的100份中的50份，是表示关系，可以改写成百分数。

师：看来，只有表示关系的分率才可以改写成百分数，百分数又叫作百分率，百分数还和比有关，你能把百分数化成比吗？

师：将以前学的分率和比与今天学习的百分数进行比较，你有什么想说的？

生3：我们学的分率和比是表示两个数之间的倍比关系。今天学习的百分数，它不是表示具体的数量，也是表示两个数之间的倍比关系。

师：你把新旧知进行了比较，发现不管分率、比、百分数，实际上都表示了两个数之间的倍比关系，真好！

教师通过引导学生比较新旧知识的异同点，发现百分数就是百分率，同化于原有分率的认知下，再通过将百分数与分率、比进行纵向联系，在认知中形成“倍比关系”这样更上位的结构，从而让学生发现，不管分率、比、百分数，实际上都表示了两个数之间的倍比关系。教师将倍比关系作为分率、比、百分数的“根”与“魂”，进行纵向联系，同时通过横向联系，让学生认识到百分数的读写、作用、意义、范围，通过横向、纵向的联系，形成结构化的板书，帮助学生形成完整的认知结构。

注：本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度课题“指向课堂核心关切的支点式学习研究”（立项批准号：Xc-c/2020/08）的阶段性研究成果。