以问促思，让学生思维向深处漫溯——基于一道思考题的教学片段与思考

江苏省苏州市枫桥中心小学 韩雅琴

2014 年版的苏教版小学数学教材增加了一些思考题，这些思考题与必学知识联系，按学生年龄的大小、接受能力的差异循序渐进、螺旋上升地分散在各册教材中。思考题的设置旨在让学生在解决具有一定挑战性和综合性的问题中提高学习兴趣，开拓数学思维，发展数学能力。

苏教版教材五年级上册“多边形的面积”整理与练习中有这样一道思考题：

在方格纸上画一个三角形和一个梯形，通过剪、拼分别把它们转化成平行四边形。你能根据转化成的平行四边形与原来图形的关系，推导出三角形和梯形的面积公式吗？

此题旨在让学生通过剪、拼等操作活动，探寻用不同的方法推导三角形和梯形的面积公式，促使学生深化理解三角形和梯形的面积公式，锻炼思维的灵活性和开放性。教学此题时，如何有效激活学生的思维，引领学生的思维向更深处漫溯呢？笔者进行了如下教学尝试和思考。

片段一：问题引导，点燃思维火花

首先，教师提问：“三角形和梯形的面积是怎样算的？”

学生说道：三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底+下底）×高÷2。

接着，教师问道：三角形和梯形的面积公式是怎样推导出来的？

学生说道：把两个完全相同的三角形通过旋转和平移拼成一个平行四边形。因为拼成的平行四边形的底和高分别等于三角形的底和高，所以每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。同样，把两个完全相同的梯形通过旋转和平移拼成一个平行四边形。因为拼成的平行四边形的底等于梯形的“上底+下底”，高等于梯形的高，所以梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。

教师又追问：三角形和梯形的面积公式推导过程有什么相同之处吗？

学生交流讨论后说道：都是先用“两个”完全相同的三角形或梯形拼成一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式推导出三角形或梯形的面积公式。

教师又引导学生思考：如果只有一个三角形或一个梯形，能通过剪、拼分别把它们转化成平行四边形吗？根据转化成的平行四边形与原来图形的关系，能推导出三角形和梯形的面积公式吗？

【思考】教育心理学家奥苏泊尔说过：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。此题的知识基础是三角形和梯形的面积计算公式推导和计算方法。据此，教师层层递进地提出三个问题：①三角形和梯形的面积是怎样算的？②三角形和梯形的面积公式是怎样推导出来的？③三角形和梯形的面积公式推导过程有什么相同之处吗？通过这组问题促使学生充分调动已有的认知储备，主动回顾三角形和梯形的面积公式及推导过程，思考图形面积公式推导中的相同之处。这样的问题有助于唤醒学生的已有经验，激发学生的兴趣，激活学生的思维。随后，教师又适时抛出新的问题，引发学生思考，自然而然地将学生引入到新的探究学习活动中。

片段二：问题引探，拓宽思维空间

活动与思考：

1.画一画：在方格纸上任意画一个三角形并剪下来。

2.剪一剪、拼一拼：把一个三角形剪拼成平行四边形。

3.想一想：剪拼成的平行四边形与原来图形的关系，并推导三角形的面积公式。

学生演示剪拼过程，并说明推导方法。

方法一： 沿着三角形左右两条边的中点剪开，然后旋转上面的小三角形，与下面的梯形拼成一个平行四边形。剪、拼后的平行四边形的底和面积分别与原来三角形的底和面积相等，高是原来三角形高的一半。所以，三角形面积＝平行四边形面积＝底×（高÷2）＝底×高÷2。

方法二：沿着三角形底边上的中点和另一条边的中点剪下一个三角形，旋转后拼成一个平行四边形。剪、拼后的平行四边形的高和面积分别与原来三角形的高和面积相等，底是原来三角形的一半。所以，三角形面积＝平行四边形面积＝（底÷2）×高＝底×高÷2。

教师引导学生思考：两种不同的剪拼方法，有什么相同之处？

学生组织交流后说道：转化成的平行四边形的面积不变，底或高变成了原来三角形底或高的一半。

教师组织学生继续探究梯形面积公式的推导方法。学生演示剪拼过程，并说明推导方法。

方法一： 沿着梯形两条腰的中点剪开，旋转上面的小梯形，与下面的梯形拼成一个平行四边形。剪、拼后平行四边形的面积没有变，底等于原来梯形的“上底+下底”，高是原来梯形的一半。所以，梯形面积＝平行四边形面积＝（上底+下底）×高÷2。

方法二： 在一个等腰梯形的底边上剪下一个小三角形，旋转后与五边形拼成一个平行四边形。这个平行四边形的面积和高都没有变，底等于原来梯形“上底+下底”的一半。

教师引导学生思考：新的推导方法和之前的有什么相同和不同？

学生说道：相同点是都运用了“转化”的方法。通过剪、拼，把三角形或梯形转化成了平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式推导出三角形和梯形的面积公式。不同点是用两个图形拼，底和高不变，拼成的平行四边形面积是原来图形面积的2 倍。而用一个图形剪拼，面积不变，拼成的平行四边形的底或高是原来的一半。

教师强调：“转化”是数学学习中常用的一种方法。通过转化，可以把陌生的问题变成熟悉的问题，把复杂的问题变成简单的问题，把抽象的问题变成具体的问题……从而使问题得到解决。

最后，教师提问：在这次探究活动中，你们有什么新的收获吗？

【思考】在学习三角形和梯形面积时，虽然学生能准确说出它们的面积计算公式，但对于公式中的“÷2”以及三角形、梯形与转化成的平行四边形之间的关系理解不深，在解决相关问题时容易混淆、出错。课上，教师给学生提供了充分的时间和空间，引导学生利用原有的学习经验，通过“画一画”“剪一剪”“拼一拼”“想一想”等活动，自主探索和推导三角形和梯形的面积计算公式，让学生的思维得到了充分地发散，打破了原有转化方法的“狭隘”。随后，又在同伴的相互交流、相互补充中明晰了三角形和梯形面积公式中为什么要“÷2”。进而，在“新的推导方法和之前的有什么相同，又有什么不同？”这一问题的引领下，启发学生进一步思考不同转化方法之间的联系与区别，帮助学生深化对于三角形和梯形面积计算公式的理解。

片段三：问题引思，挖掘思维深度

教师引导学生思考：通过探究，我们发现三角形、梯形的面积与平行四边形面积之间有着密切的联系。那么，它们之间到底有着怎样密切的联系呢？

多媒体动态演示：一个梯形，用字母a、b、h 分别表示它的上底、下底和高。然后慢慢移动梯形下底的一个顶点，使梯形的下底长度连续发生变化。

接着提问：通过观察，你有什么发现吗？

学生讨论后说道：当梯形的下底缩短成一个点（即b=0）时就变成了三角形，此时梯形的面积公式就变成了S=(a+0)h÷2=ah÷2，也就是三角形的面积公式。当梯形的下底与上底一样长（即b=a）时就变成了平行四边形，此时梯形的面积公式就变成了S=(a+a)h÷2= ah，也就是平行四边形的面积公式。

通过交流，学生认识到：只要记住梯形的面积公式就能推导出三角形和平行四边形的面积公式。梯形的面积公式是一个“万能”公式，用梯形的面积公式可以计算出之前学过的所有平面图形的面积。

【思考】通过前面的探究学生已经掌握了平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，知道它们之间是有联系的，但这种认识是浅层次的，只是知道三角形和梯形可以转化成平行四边形，三角形和梯形的面积等于转化成的平行四边形面积的一半。课上，教师以“它们之间到底有着怎样密切的联系呢？”这一问题把学生的思维引向深入。随后，教师借助几何画板进行动态演示梯形与三角形、平行四边形之间的变换过程，让学生直观、形象地看到了图形间的神奇变换。在认真观察、深入思考后，学生发现了平面图形面积计算公式间的内在联系，并且有了“梯形的面积公式是一个‘万能’公式”这一新的收获。

总之，思考题是课堂教学的补充与深化，在教学中，教师要结合思考题的趣味性、思考性和综合性等特点精心设计问题，以问题激发学生的学习热情，促使学生积极主动地参与探究活动，引领学生的思维从单一走向多元、从浅层走向深入，从而实现学生思维能力的提升。