生成性教学视野下的“合并同类项”有效教学*

□任宏章

（南京师范大学苏州实验学校，江苏苏州 215100）

生成性教学视野下的有效教学，以课堂有效生成和有效思维活动为考量指标，通过创设情境，设计问题来导学，营造轻松、和谐的课堂气氛，激活学生的探究欲望，让学生在问题情境中自主思考、自主发现，在对话情境中互相补充、互相完善，从而自主归纳出概念、法则，并在概念、法则的形成过程中领悟数学思想，形成数学的学科素养.

“合并同类项”是苏科版义务教育教科书《数学》七年级上册第三章第四节的内容，它是进行整式的加减的基础，也是整式部分的核心知识.基于七年级学生的学情，笔者将学习目标确定为：（1）通过分类感悟同类项的本质特征，自然生成同类项的概念，会识别同类项；（2）依据实际图形，贯通乘法分配律，归纳合并同类项法则，会合并同类项.学习重点是：理解同类项的概念，会合并同类项.学习难点是：合并同类项法则的缘起与归纳.

在弹性预设的前提下，生成性教学的流程，是由现场师生根据人的生成功能和不同的教学情状，自主而智慧地构建教学活动，并在不断变化、充满生机的教学形态中获取生成意义、促使生命不断发展的过程[1].生成性教学视野下的“合并同类项”有效教学主要有两个特征：课堂实现五个生成，思维呈现五个发展.

一、创设求知情境，分类生成标准，发展分析思维

苗东升教授认为：“如果部分被整合、组织在整体中，它们就被屏蔽起来，整体地考察系统无法了解这类属性；如果解构系统，把部分从整体中分离出来成为独立存在的对象，这些属性就会释放出来，可以为人们直接考察.”[2]鉴于此，笔者将“合并同类项”教学安排为从“欣赏图形，整体感悟”环节开始，采取解构系统的方式组织教学.

［引例］从不同角度考虑求下面长方形面积（原图见课本第80页，此处略）.

生1：从整体看长方形面积为（100+200）（a+b）.

生2：从局部看，可表示为4个长方形的面积之和100a+200a+240b+60b.

生3：从组成看，可表示为两个长方形的面积之和（100+200）a+（240+60）b.

三个学生的回答都正确，是学生在原有知识基础上的自然生成.笔者整合写成：

学生看到多项式中的某些单项式被合并了，必然产生疑问：这些项为什么能够合并？能够合并的单项式有什么特征？

对课本中这个图形的运用，多数教师持淡化处理态度，更有不少教师抛弃“不同角度考虑求长方形面积”问题，没有发挥其“解构系统”的作用.而图形运用的意义在于：（1）利用几何图形研究代数问题是学生进入初中阶段的首例，也为后续学习整式乘除、乘法公式用几何图形研究奠定了基础，是数形结合思想运用的典范；（2）图形面积不同表示方式相通，让学生感受到单项式可以像有理数加法一样进行合并；（3）图形面积不同表示方式相通，是实际意义的“恒等”，可以用来解释说明数学意义.教师若进行有效的引导，学生就可以从整体上感悟学习合并同类项知识的必要性和必然性.

二、感悟图形要义，类比生成概念，发展抽象思维

刚从小学升入初中的学生，抽象思维能力相对薄弱，形象思维能力相对较强.呈现形象直观的东西更易于学生理解，学生凭借对图形的理解，能够初步感悟“合并单项式”的价值，也必然产生新的疑问：究竟什么样的项可以合并？

课堂上，笔者引导让学生从生活感悟开始，通过“制定标准，合情分类”环节开始深入学习.

［问题］制订标准，将下列用品进行分类（图略）.

生4：书本类：音乐课本、中学教材全解；车类：自行车、小汽车；水果类：菠萝、香蕉.

俗话说“物以类聚”，显然学生根据生活经验会进行简单的分类，回答正确也是必然的结果.教师需要做的是帮助学生将这种生活经验迁移到对数学知识的理解中.于是，笔者给出如下问题：

［思考］从单项式组成要素出发，尝试制订一个标准，将下列单项式进行分类：

-100a，5ab2，0，200a，-13ab2，-2

生 5：-100a与 200a放在一起，5ab2与-13ab2一起，0与-2放在一起.

学生的回答精准到位，但怎样揭开“放在一起”的面纱，需要再加以思考.

师：（追问）为什么要这样放在一起？

这激发了学生的深层次思考，教学转向“明理悟道，生成概念”环节.

师：（引导）从单项式组成要素出发，放在一起的单项式有什么特征？

生6：组成单项式要素是系数、字母、字母指数.放在一起的项形式上是一样的.

师：“形式上是一样的”说得非常好，“形式上是一样的”的真实含义是什么呢？

生7：“形式上是一样的”是指所含的字母相同.

生8：“形式上是一样的”是指字母的指数相同.

生9：“形式上是一样的”是指所含的字母相同，相同字母的指数也相同.

生1100：“形式上是一样的”与单项式的系数无关.

师：没有字母的单项式怎么看？

生1111：常数项都是形式上一样的.

师：形式上一样的项取个怎样的名字呢？

生：（众）同类项.

师：那同类项如何定义呢？

生1122：形式上一样的项叫作同类项.

生1133：（摇头）所含的字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项.

生1144：多项式中，所含的字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项.

生1155：特别地，常数项都是同类项.

从上述师生对话中可以看出，同类项的概念已经生成，而且是学生自主进行的抽象生成.作为分类的标准“字母与字母指数”所呈现的特征就是同类项概念的要义，同类项概念生成的过程中，概念的本质特征不断被挖掘，表达不断完善，思想碰撞的结果是智慧的生成.这样的课堂生成是有效的，学生的抽象思维能力得到了发展，数学素养也在新知识的生成过程中形成了.

为了巩固对同类项概念的理解，笔者接着安排了“辨析理解，巩固概念”环节.

［练习］下列各组单项式，是否为同类项？说明理由.

生16：（1）不是.因为前者含字母c，所含的字母不相同.

生1177：（2）不是.因为后者不含字母，所含的字母不相同.

生1188：（3）不是.因为相同字母的指数不相同.

生1199：（4）是.因为所含的字母相同，相同字母的指数也相同.

通过辨析，学生巩固了对同类项概念的理解，同时认识到：判定单项式是不是同类项，应依据概念进行，与字母排列顺序无关.此时，学生具有了批判思维能力.

三、领悟要素变化，贯通生成法则，发展归纳思维

既然同类项可以合并，那么怎样合并同类项呢？

笔者设计了“依据算律，生成法则”环节.

根据你对学校占地面积问题的理解，说说上述同类项如何进行合并？

尝试将下列单项式合并，并归纳合并同类项法则：

（1）2c+3c（2）5ab2-13ab2（3）-9x2y3+5x2y3

生20：学校占地面积表达式，运用了逆向乘法分配律.

师：逆向乘法分配律的表达过程中，单项式组成要素发生了怎样的变化？

生2211：系数加减了，字母和指数没有变化.

生22、23、24 三个同学到黑板前板书（1）（2）（3）的合并过程.

师：从上述单项式的合并过程审视，说明什么是合并同类项？归纳合并同类项法则.

生2255：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫作合并同类项.

生26：合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

有了对同类项概念的深刻理解，同类项的合并与乘法分配律自然容易贯通，学生在归纳合并同类项的概念时一气呵成，合并同类项法则也是自然生成.这样，课堂教学能够高效实施，有效生成和有效思维活动也可以迅捷开展.

四、深悟运算原理，剖析生成方法，发展逻辑思维

归纳了合并同类项法则，目的是为了运用，课堂进入“尝试运用，形成能力”环节.

［例题］合并下列各式中的同类项：

（1）-3x＋2y-5x-7y

（2）a2-3ab＋5-a2-3ab-7

（3）5m3-3m2n-m3＋2nm2-7＋2m3

生27、28、29 三位同学到黑板前板书（1）（2）（3）的合并过程.

生27：（板书）原式 =-3x-5x＋2y-7y

=-（3-5）x＋（2-7）y

=-2x＋（-5）y

=-2x-5y.

生28：（板书）原式 =a2-3ab＋5-a2-3ab-7

=（a2-a2）-（3ab-3ab）＋5-7

=-2

生29：（板书）略.

师：观察三位同学的板书过程，是否正确？书写是否合乎规范？

生3300：生27把-3x-5x合并错了，正确的应该是：（-3-5）x=-8x.

生30发言后，笔者让他到黑板前改正，并说出每一步的运算依据：

原式=-3x-5x＋2y-7y（加法交换律）

=（-3-5）x＋（2-7）y（合并同类项法则）

=-8x＋（-5）y（有理数加法法则）

=-8x-5y（去括号法则）

生31：生28把-3ab-3ab合并错了，正确的应该是：（-3-3）ab=-6ab.

笔者再追问，让学生31 回答了运用合并同类项法则合并同类项的一般步骤.

尝试运用是学生在理解合并同类项法则基础上进行的，如果教师直接板书，学生可以依样画葫芦，但对问题的理解以及对算理的感悟就不会深刻.让学生自己尝试解决，然后互相纠错，犯错者在被同学指出错误后就能领会得更深刻，指错者认识错误点也会更加清晰，课堂真实体现解题的生成过程，给学生提供了互相学习、纠正错误、提高认识的机会.这促使真正意义的学习发生，在反思剖析、生成运用合并同类项法则的一般方法中，发展了学生的逻辑思维能力.

好课的绝妙之处还在于创新和提高，为此笔者设计“类比拓展，提升能力”环节.

［拓展］请你仿照上面的方法，合并下列各式中的“同类项”：

（1）3（x＋y）-6（x＋y）-8（x＋y）

（2）（a-b）2＋（a＋b）-（a-b）2-（a＋b）

生32：（1）原式=3x＋3y-6x-6y-8x-8y

=3x-6x-8x＋3y-6y-8y

=（3-6-8）x+（3-6-8）y

=-11x-11y

生3333：（1）原式=3x-6x-8x+3y-6y-8y

=（3-6-8）（x+y）

=-11（x+y）

比较生32 和生33 的做法，前者没有领会“同类项”的真正含义，后者领会了新情境下“同类项”的意义.从思维水平方面看，前者是守旧和规范，后者是创新和提高.“同类项”知识的类比创新运用提升了学生的解题能力.在做完（1）之后，学生完成（2）就顺利多了，当然还有少数学生把（a-b）2想当然展开成a2-b2，这是对（a-b）2整体形式认识不足，也为以后学习完全平方公式做了铺垫.课堂在笔者的预设下不断生成，学生在不断的生成中提高认识、健全认识、发展能力.

五、禅悟课堂体系，对话生成思想，发展系统思维

只有学习者在学习中借助文本生成了新的意义，才能最终获取自己的意义，且不同学习者生成的意义又各不相同，于是就需要与他者交往，进入与他者共在的世界。笔者设计“小组讨论，总结建构”环节，积极尝试由学生来完成学习项目，笔者只提供学生课堂小结的问题链：

1.什么是同类项？合并同类项法则内容是什么？

2.我们用了什么方法研究同类项？

3.研究同类项过程中用到了哪些数学思想？

4.通过这节课的学习，你学习到了什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？

小组内简单交流后，组织班级交流，然后笔者总结并投影.

知识：两概念一法则，字母指数都一样，只求系数代数和.

方法：借助图形研究，从特殊到一般研究.

思想：分类思想，类比思想，整体思想.

在问题链的引导之下，学生自主完成课堂小结，对数学知识从哪里来、怎样运用就会有明确的认知.长期坚持这样的教学，学生就会形成学习反思的习惯，通过对学习内容的思考，通过课堂中师生、生生的对话，自然构建新知识体系，生成研究数学问题的思想，发展数学的系统思维能力.笔者认为：学生的创新素质应当在学习新知识的过程中经由感悟而获得，应当是对新知识学习过程的反思；课堂教学重视的应该的是对新知识形成过程的研究学习，课堂学习的目的在于数学思想的形成，以及数学素养的提升.

最后布置课堂作业，应分层要求，设必做题和选做题，满足不同学生的不同发展需求.