初中数学“将军饮马”问题学习障碍分析及策略

2021-12-01杨魁平

读与写 2021年36期

杨魁平

(贵州省遵义市第五十五中学贵州遵义 563000)

引言

相传古罗马的亚历山大城当中有擅长物理、数学的学者，有一天，罗马将军要拜访他，于是将军向学者请教一个问题“将军从A军营出发，到河边先饮马，之后去河岸的同侧B处宿营，如何行走路程才会最短”。饮水点属于重点，解决问题过程当中需要构造出对称点，寻找饮马的最短距离。部分中学生在求解此类问题时不知如何入手，因此需要教师加以指导，帮助其找到解题思路。

1.初中数学“将军饮马”问题学习障碍分析

初中生要解决“将军饮马”这类动点问题，需要明确相关概念，包括动点、定点与对称点，其中，动点就是“饮马点”，定点就是题干当中给定的固定点，而对称点就是通过作图而得到的点，也就是解题过程需要连接的点。部分学生在求解此类问题时，可能存在如下困惑：

第一，怎么寻找对称点，做哪个点的对称点？简单而言，就是题目当中所需要找出的对称点，因为问题当中给出的都是定点，因此，需要利用定点才能寻找对称点。部分中学生由于不了解作对称含义，所以，对称点的寻找可能存在困难。对此，需要明确对称对象为一条直线，并非一个点，只有找到具体直线，才能顺利找出动点所在的直线[1]。

第二，做对称之后应该和谁连接？做完对称以后应该与另外定点相连接，不可以将其和动点相连，需要学生明确定点对称点仍然为定点这一概念，才能找到连接点。

第三，所求动点如何确认？中学生在求解“将军饮马”这类问题的时候，应该明确所求之点应该为图上交点，具体而言就是已知直线、所做直线二者之间交点。

2.初中数学“将军饮马”问题的学习方法指导

2.1 “一线两点”同侧类型。已知，如图1所示，BN垂直EF，AM垂直EF，M、N分别为垂足，且MN等于12m，BN等于4m，AM等于5m，P点在EF上为动点，那么PA和PB之和的最小值是多少？

此问题属于“将军饮马”模型的应用，在题干当中，A和B两点属于定点，P为动点，解决问题时，需要利用“定点定线”来“作对称”，解决问题时，可以先找出A点关于直线EF对称点，即A＇，然后根据两点间线段最短作辅助线，将点A＇和点B相连，这时即可推导出“A＇P和PB的和就是A＇B，也就是最短距离”。解决问题的时候，需要先构造出直角三角形，之后利用勾股定理求解具体问题。

“一线两点”类型的将军饮马问题可能还会以变式的形式出现，如图2所示，三角形ABC为正三角形，边长是4，AB、AC、BC边上分别有三点E、F、G，且均为中点，EF边上有一动点P，求三角形BPG周长最小值？

针对此问题深度分析，可以根据三角形的边长和中点性质，判断出BG的长度是2，利用转化思想得出求三角形BPG周长最小值就是求BP和PG和最小值，因此，能够判断出该问题也是“将军饮马”的“一线两点”类型，因此，解题过程可以寻找G点关于直线EF对称点，部分学生可能难以直观看出对称点，对此，可以将AG相连接，根据“三线合一”，可知AG和BC垂直，之后将EG相连，据“直角三角形的斜边中线为其一半”能够得出，AE和EG相等，就可顺利知道G点关于直线EF的对称点就是点A，在计算周长问题时，需要将BG的长度考虑其中。连接AG以后，可知PA和PG相等，也就是PB与PG的和、BP与PA的和相等，即A、B、P三个点共线的时候，BP和PG的和最短，等于AB，故三角形BPG最短周长是6。

2.2 “两线一点”类型。在“将军饮马”模型当中，存在“两线一点”类型的习题，如图3所示，三角形ABC当中，AB和AC均为10，BC中点是D，AD的长度是6，AD上存在动点P，AC边上存在动点E，试求PC与PF之和最小值？

对于此类题型进行分析，可知定点为C，动点分别是P和E，所属“将军饮马”类模型，因为三角形ABC是等腰三角形，且AD为BC边上的中线，AD是BC的垂直平分线，B、C两点关于AD对称，可知，PE、PC之和、PE、PB之和相等，因此，很明显可以看出B、P、E共线的时候，线段BE的距离较短，但是却不是最短的，此时，按照“垂线段最短”定理，可知，BE垂直AC的时候，BE的长度(也就是PC+PF)最短，因此，可以利用面积法进行求解。解题过程，可以作BE垂直AC，和AD的交点是P，因为AD和BC垂直，由勾股定理知道CD为4,进而BC为8，根据等积法，可求出BE等于9.6[2]。

2.3 “两线两点”类型。“两线两点”类型，如图4所示已知A、B为锐角∠MON内两个定点；要求在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小。解答此类问题找到两线是关键，如何找到两线呢，先明确动点在哪条线上找(如图4中OM,ON)，哪条线就为对称线，再找到两定点如图4中A,B，作点A关于直线OM的对称点A′。解答方法：作点B关于直线ON的对称点B′，连接A′B′交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A′B′的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA′,将QB转化为QB′，当A′、P、Q、B′四点共线时，PA′+PQ+QB′的值最小，即PA+PQ+QB的值最小。