高等数学教学中悖论教学法的实践应用

苟敏磷

（贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001）

悖论具有一定逻辑学研究性质。如若对某理论进行正向推理、公理解说，具有研究的正向性。然而，在理论研究期间，对研究观点的反向思想，进行准确命题，能够验证正反命题的理论矛盾性，在矛盾式命题等价关系中，反向命题作为悖论表现。二元论思路，证实了生活中悖论思想的存在。悖论理论中，含有较为丰富的数学思想，应广泛应用在数学教学体系中，提升高等数学教学有效性。

一、悖论教学法内涵

（一）悖论理论

悖论一词来自古希腊，作为逻辑学理论的关键名称，或者称之为反论。悖论一词具有较为丰富的词义，包括外界物质与人认知存在的矛盾表现，泛指表面无争议的命题、实际上在逻辑验证时存在矛盾表现的结论。在高等数学教学体系中，悖论含有三种表现形式：其一为佯谬，表示此论点看似表述不严谨，实际论证时并未表现出问题；其二为反论，表示此论点看似较为严谨，但论证结果为错误；其三为逻辑矛盾，表现在论点较为完整的情况下，论证发展逻辑中存在矛盾表现。悖论思想，在一定程度上为数学发展带来了多重可能性。在悖论学术研究发展进程中，相应变革数学教学体系，提升了数学教学发展的综合实力[1]。

（二）悖论教学法

在原有教学体系中，以知识为教学核心，悖论教学法并未获得较高重视。因此，在传统教学体系中，教学关注高等教学内容的讲解，尚未开展悖论矛盾验证的教学工作，以期保障课堂讲解方向的明确性，减少悖论引起的学术干扰问题。然而，悖论教学法，能够为学生带来反向思考模式，以此提升学生高等数学逻辑辩证能力，同时高效完成数学论证情境的创设，极大程度地调动了学生对数学科目学习的主动性，具有实施的必要性。

（三）悖论教学法的理论依据

1．悖论问题设计，能够让学生在习惯性错误解题思路中有所警觉，减少高等数学思维固定的现象发生。

2．在教学活动中，有序完成悖论引入，加以论证后，形成正反观点对比，能够加深对观点学习印象，提升学生对正向观点的倾向性，为后续高等数学教学工作有序发展奠定基石。

3．有助于开展学生知识探究教学引导工作，便于学生自主建设高等数学知识架构，以学生实际知识收获为核心，保障学生高等数学学习有效性。

二、悖论教学法在高等数学教学体系中的实践功效

（一）最大化挖掘学生对数学科目的学习主动性

在原有高数实践教学活动中，学生并未自主探索数学理论验证过程，学习过程较为枯燥，不利于高数教学工作有序发展。悖论教学法的实施核心，是以学生心理认知为出发点，以期挖掘学生对高数学习的探究性思维，以此建设学生的高数学习内驱力。在悖论教学法实施期间，最大程度地为学生创设了探究性学习环境，让学生对已学知识形成矛盾辩证思维，以此促使学生自主开展高数学习，激发学生对高数科目的学习主动性。

（二）便于学生深层次掌握高等数学的各项理论内涵

高数知识含有多元化学习要素，学生在进行高数学习时，应完成对非本质内容的排除，以期从干扰条件中获取本质内容的验证结果。高等数学教学体系中，含有一定数量的数学概念，以无限结构为核心，具有较高的理论性、理解的抽象性、知识结构的繁琐性等特点。在悖论教学实践中，能够有效提升学生对无限结构各项数学知识的理解能力，便于学生深层次挖掘高等数学的研学方式，增强学生高数综合学习能力。

（三）切实增强学生数学思维养成效果

高数学习科目，含有理性思考过程。在高数课改教学体系中，高效优质的教学活动，应在简单式教学记忆的基础上，配合教学实践活动，让学生在自主探究、合作交流教学互动中，形成相对完整的高数知识框架。在悖论教学法实践中，对于理解与认知数学概念，具有深层本质挖掘、全面解析、正确认知等特点，有助于增强学生数学思维养成效果，提升学生数学问题的解决能力。

（四）使学生具备较为优异的数学审美思想

高等数学学习的本质内涵，具有一定艺术性。数学的审美艺术，源自数学科目各项理论内容的理性美感，换言之数学思维体系中，能够呈现人类社会发展的形态美。悖论思维，以理论本质矛盾视角，开展问题解析活动，探究悖论问题内涵，以此真实反映审美主体的数学艺术，便于塑造学生数学审美思维，感受数学美感精髓。

三、在高校高等数学教学体系中融合悖论教学法的实践策略

（一）以悖论为问题设计方向，完成新课导入设计

在新课程导入设计期间，教师应以明确教学方向，结合章节教学工作的实际特点，完成导课方案设计，提升学生高数科目的学习能力。悖论教学法的实施，旨在综合增强学生的科目探究能力，明晰高数教学的重要内容，为有序开展教学工作奠定基础。在导课方案设计期间，应加强悖论问题设计，以此提升导课设计效果，便于有序开展新课程讲解。

大学生正位于价值观形成和发展的关键时刻，对自我价值与社会价值的判断相对片面，极容易受到外界环境的冲击与干扰，陷入政治信仰缺失、理想信念迷茫、价值判断模糊、功利思想严重等思想困境。因此，高校应从大学生的全面发展以及“中国梦”的实现两方面出发，对社会主义核心价值观培养策略进行探究。

比如，在教学期间，教师可以从教学核心内容的反向视角，向学生提出悖论，让学生分析悖论的准确性，由此完成悖论教学法的导课设计。

（二）充分利用悖论元素，强化知识掌握巩固性

1．悖论元素使用的教学理念

在高数实践教学活动中，学生存在多重学习问题，比如认知事物的局限性、所学内容反向迁移等，造成学生对高数概念理解不透彻问题，降低了高数教学有效性。因此，高数教学人员，应加强数学知识教学巩固效果，在教学全程序中完成知识深化教学工作，便于学生深入感知所学内容，加强高数知识理解应用。在高数教学期间，有序完成悖论元素应用，提升学生知识理解引导有效性，便于学生深入理解所学高数知识，切实把握知识精髓，形成牢固的知识掌握体系。

2．悖论观念教学实践方法

教师在开展高数教学工作时，应加强悖论元素应用。悖论元素的教学实践方法为：

（1）教师在课堂中，为学生设定一个悖论e。

（2）让学生以小组合作形式，讨论悖论e的准确性，由此引导学生对悖论e产生质疑。

（3）借助学生已学知识f，完成悖论e的推翻，让学生对所学知识f形成全新的理解与认知。

（4）在悖论e获得推翻后，引出全新的观点g。观点g为课程核心的讲解内容。

借助悖论教学法，加强学生对悖论观点质疑，提升学生探究学习能力。

（三）发挥悖论悬疑功能，提升高等数学体系逻辑性

1．悖论悬疑功能教学实践方法

在原有高等数学教学期间，教师较为注重课堂教学效率。在新时代教学改革工作中，教学人员应关注学生实际情况，包括培养学生知识探索能力、塑造学生辩证思维等，以此增强学生自身知识吸收效果，让学生具备各类高数问题的解决能力，提升高数教学有效性。在实践中开展悖论教学法，教学人员可为学生引入学术研究案例，借助悖论悬疑功能，让学生对高数理论研究过程进行探究思考，提升课程教学的延伸效果。

2．悖论教学悬疑功能实践案例

在曲线积分高数教学课程中，学生存在对曲线积分相关概念理解不准确的情况，由此增加了高数解题的错误可能性。教师为学生开展悖论教学，让学生自主查询黎曼积分相关研究内容，获取曲线、二重等积分的差异性，加强学生逻辑推导能力。在学生获得知识内容的同时，教师融合悖论问题，比如第一类曲线积分对dx有正负要求，让学生对此悖论进行推翻与验证，以此加强学生高数学习的思考能力，使其能够准确辨别各类积分的数学概念，切实提升高数教学品质。

四、高数教学融合悖论教学法的教学实例

（一）教学实践的课程与规划

1．教学课程为级数求和。

2．确定教学关键内容：掌握课程中的高等数学概念，具体包括极限、有限等，此类数学知识在学生常见事物中具有陌生性，教学难度较大。

3．学情分析：学生对各类高等数学概念具有基础认知，在级数概念理解时存在误区；情景与悖论教学方法相融合时，能够有效激发学生对高数知识的探究能力。

4．悖论情景教学法：以“阿基里斯追龟”的悖论内容为出发点，开展课程情景创设[2]。

（二）教学实施

融合悖论情景教学法，能够为学生创设高数思考空间，缓解学生理解高数概念的压力，增强高数情景创设表现力，发挥悖论教学法的积极作用。悖论教学法过程为：以原有认知观念为导课视角、提出悖论观点、验证悖论观点的错误性、设定探究悖论问题根源、验证高数知识理论正确性、消除悖论、掌握高数新课程知识。具体教学实践过程如下：

1．教学导课方案设计。导课方案设计，融合悖论情景教学法，引入古希腊传说，为学生创设跑步情景，引出阿基里斯人物a跑速第一的情节，悖论问题设计为：假设a在跑步期间，前方跑道出现一只乌龟，乌龟的出发点为A，认为a不可能追赶上乌龟。由于a与乌龟的出发点存在一定差距，在无限跑步情况下，乌龟始终在a前方，因此类推结果为人物a无法追赶上乌龟。以悖论思想融合导课问题中，让学生开展思考。学生针对人物a追赶乌龟的问题，开展讨论与研究。

2．逻辑思维引入。在学生给出否定答案时，教师让学生表达人物a追赶乌龟的理论依据，继而引入无限极数求和的教学内容，同时为学生讲解导课情景中悖论观点存在的逻辑错误。

3．数学教学指导。在课程讲解完成时，教师带领学生开展知识验证，获取无限项求和的学习方法。

综上所述，现阶段的高等数学教学工作，具有教学内容的界限性、教学空间的开放性等特点，教学人员能够为学生创设数学情境，切实调动学生高等数学的学习主动性。在高等数学教学发展期间，教师应尊重每个学习个体的思考想法，加强整体数学思维引导，以此促进课堂开展数学辩论，升华高等数学教学效果。同时融合悖论教学法，有效建设学生数学探究内驱力。