解相似三角形勿忘多解

刘冰

在解决与相似三角形有关的问题时，有的题目没有给出明确的对应关系，求解时需要根据可能存在的情况分类讨论求解，下面举例说明.

一、求线段长度中的多解

例1 如图1，AB，CD都是BD的垂线，AB = 4，CD = 6，BD = 14，P是BD上一点，连接AP，CP，所得两个三角形相似，则BP的长是 .

解析：题中只说“两个三角形相似”，并没有指明对应顶点，可能存在△ABP∽△PDC和△ABP∽△CDP两种情况，求解时应分两种情况讨论.

设BP = x，则PD = 14 - x. （1）当△ABP∽△PDC时， [ABPD=BPCD]，即 [414-x=x6]，解得x1 = 2，x2 = 12. （2）当△ABP∽△CDP时， [ABCD=BPPD]，即[46=x14-x]，解得x = [285] .

综上所述，当所得两个三角形相似时，BP的长为2或12或[285]. 故填2或12或[285].

误区警示：易出现的错误是只考虑△ABP∽△CDP，而忽视△ABP∽△PDC，导致漏解.

二、求角度中的多解

例2 等腰三角形ABC被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰三角形ABC的顶角的度数是 .

解析： 因为题中没有指明等腰三角形ABC的具体形状，故应该分三种情况进行分析.

（1）如图2，△ABC中，AB = AC，AD = BD = CD，△ABD∽△CBA，求∠BAC的度数.

∵AB = AC，AD = BD = CD，∴∠B = ∠C = ∠DAC = ∠DAB，∴∠BAC = 2∠B.

∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∴4∠B = 180°，∴∠B = 45°，∴∠BAC = 90°.

（2）如图3，△ABC中，AB = AC，BD = AD，AC = CD，△ABD∽△BCA，求∠BAC的度数.

∵AB = AC，BD = AD，AC = CD，

∴∠B = ∠C = ∠BAD，∠CDA = ∠CAD.

∵∠CDA = 2∠B，∴∠CAB = 3∠B.

∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∴5∠B = 180°，∴∠B = 36°，

∴∠BAC = 108°.

（3）如图4，△ABC中，AB = AC，BD = AD = BC，△BCD∽△ABC，求∠BAC的度数.

∵AB = AC，BD = AD = BC，∴∠ABC = ∠C，∠A = ∠ABD，∠BDC = ∠C，

∴∠BDC = 2∠A，∴∠C = 2∠A = ∠ABC.

∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，∴5∠A = 180°，∴∠A = 36°.

综上所述，等腰三角形ABC的顶角的度数是108°或90°或36°.

误区警示： 易出现的错误是考虑问题不全面，只考虑第一种情况，忽视了后面两种情况.

三、求点的坐标中的多解

例3（2021·贵州·黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 .

解析： 以原点O为位似中心将△AOB放大，可能存在两种情况：

（1）如图5，当放大后的△OEF与原△AOB在位似中心O的同一侧时，此时可求得点A的对应点E的坐标为（4，2）;

（2）如图5，当放大后的△OGH与原△AOB在位似中心O的两侧时，此时可求点A的对应点G的坐标为（-4，-2）.

综上可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.

故填（4，2）或（-4，-2）.

误区警示： 易出现的错误是只考虑位似图形与原图形在原点的同一侧，而忽视了两图形分布在原点的异侧的情况，导致漏解.

四、求图形面积比中的多解

例4 在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE，AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF =

解析：本題中的点E将AD分为2∶3的两部分，存在AE∶ED = 2∶3和AE∶ED = 3∶2两种情况.

（1）当AE∶ED = 2∶3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD[⫽]BC，AE∶BC = 2∶5，

∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF∶S△CBF = [252] = 4∶25;

（2）当AE∶ED = 3∶2时，同理可得S△AEF∶S△CBF =  [352] = 9∶25.

故填4∶25或9∶25.

误区警示： 易出现的错误是只考虑到AE∶ED = 2∶3，而忽视AE∶ED = 3∶2.