基于课程思政的高等数学案例教学探索

唐新华 曹勇

摘要：从“立德树人”这一教育的根本任务出发，在深刻理解课程思政内涵的基础上挖掘高等数学课程教学内容中的思政元素，以数学模型应用、极限思想、微分方程的解等知识点出发，构造形成思政教学案例。探索价值塑造--知识传授—能力培养三位一体的教学模式。

关键词  高等数学   课程思政  教学案例

党的十八大报告指出，教育的根本任务是立德树人。而课程思政是高校落实立德树人根本任务的重要举措。课程思政是以构建全员、全程、全课程育人格局的形式将各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应，把“立德树人”作为教育的根本任务的一种综合教育理念。高等数学课程思政教学方案设计要以构建全员、全程、全课程育人格局的形式将高数课程知识与相关思想政治元素相互融合，形成协同效应，始终贯穿“立德树人”这一教育的根本任务。

作为应用型本科大学，高等数学是我校理工类各专业学生的一门必修基础课。在课程思政理念下，如何更有效的提高人才培养质量，需要教师紧跟时代步伐，不断更新教育教学理念，挖掘高等数数学课程中蕴含的思政元素将知识传授和价值引导有机结合。本文在深刻理解课程思政内涵的基础上，给出了在知识传授过程中如何合理设计教学方案进行课程思政元素渗透的教学思路，使思政元素与数学知有机结合，力争达到春风化雨，润物无声的全方位育人目的。

一、明确问题—分析问题—解决问题解题步骤，感受数学模型和函数关系建立与求解在疫情防控中的应用。

2020年山东新高考数学试题第6题，充分发挥数学学科特色，渗透战疫研究新成果。利用数学模型结合病毒传播规律建立函数关系，将疫情防控知识科学的融入考试试题中，试题设计基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型研究成果，结合函数关系建立这一知识点考查学生通过阅读资料获取信息的能力和利用数学模型建立函数关系并解决实际问题的能力。在讲解函数定义性质和函数关系的建立这一知识点的时候引入本题，通过讲解题目让同学们通过明确问题—分析问题—解决问题的步骤感受数学模型和函数关系建立与求解在实际中的应用。

（1）明确问题：通过仔细审题明确需要解决的问题是要得出在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间 。（2）分析问题：由 得要确定时间 ，应该首先确定增长率 ，进而明确累计感染病例数 表达式。 根据题目中给定的 与 ， 三者之间的关系 和 ， 的值得出 ，所以 。（3）解决问题：设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数感染病例数增加1倍需要的时间约为 则 （当t=0时 ），所以， 约为1.8天。

二、圆周率的计算中蕴含的极限思想

阿基米德计算圆周率：阿基米德，古希腊著名数学家，虽然在许多人的心目中他的发明创造比数学成果更多，但他仍与牛顿和高斯并列称为世界上三个最伟大的数学家。阿基米德计算圆周率的方法是使用了夹逼原理，这在我们高等数学极限运算法则中会讲到夹逼准则（以数列极限的夹逼准则为例）。如果数列 及 满足下列条件[2]：

那么数列 的极限存在， 且 正确使用夹逼准则证明并求极限，难点是构造出合适的数列 与 ， 并且 与 的极限相同且容易求，这样一方面能够证明数列的极限是存在的另一方面能够根据结论直接写出所求极限值。

阿基米德在计算圆周率 的时候，利用内接正多边形边长数列 和外切正多边形边长数列 ，这两个数列逼近圆的周长 （ 为圆的直径），显然  。当正多边形的边数越多，圆的周长越接近这两个正多边形的周长。阿基米德通过夹逼准则计算出圆周长的近似值进而用周长与直径的比求出圆周率。在当时，阿基米德计算出了正96边形近似圆的周长。从而估算从圆周率的值在22/7和223/71之间，并取值为3.14。可见，早在2000多年前阿基米德第一个计算出如此精确的圆周率的确令人赞叹。

我国数学家刘徽计算圆周率：我国魏晋时期数学家刘徽创造性的提出了割圆术并算到正3072边形面积，得到圆得到圆周率是 。有别于阿基米德利用圆内接正多边形周长与圆外接正多边形周长计算圆周率的方法，刘徽的割圆术利用内接正多边形的面积逼近面积计算圆周率。刘徽在《九章算术.圆田术》注中，给出了计算圆周率的科学方法割圆术。他首先从直径为2尺（这样圆的半径是1尺，面积正好是圆周率 ）的圆内接正六边形开始割圆，第二次用正12边形割圆，第三次使用正48边形割圆…，这样就得到一个正多边形的面积数列记为 ，算到192边形的面積，得到π=157/50=3.14，刘徽一直算到正3072边形的面积 ，得到π=3.1416，这个数值称为“徽率”。这种计算圆周率的方法类似于我们接下来讲的极限中的单调有界准则：单调有界数列必有极限。刘徽正好构造出正多边形数列 ，这个数列是单调递增数列，并且所有的正多边形的面积都是小于圆的面积 ，因此数列 单调递增有上界，故 极限存在。正如刘徽所说 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”最后他计算了利用正3072边形面积计算出圆周率的值3.1416。

祖冲之，著有《缀数》，在没有阿拉伯数字计数的前提下使用算筹将圆周率的计算结果精确到小数点后7位即在3.1415926-3.1415927之间。他最先提出密律值为355/113，这一结果领先欧1000多年。他在积累前人经验的基础上将圆周率的计算达到了一个新的精度，将中国数学推上一个新的高度。祖冲之计算圆周率的过程也体现出他对数学的热爱和科学研究的执着追求，在当时没有阿拉伯数字计数的条件下，他使用的是一片片的算筹计数，每一片算筹都承载着他对圆周率计算精确率的执著追求和探索未知一丝不苟的治学态度。为纪念中国数学家祖冲之，2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节，数字来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。

现在，我们可以无穷级数计算圆周率的近似值。例如：使用格雷戈里——莱布尼茨无穷级数迭代500，000次后可准确计算出 的10位小数。这是将是高等数学无穷级数这一章的学习内容。

三、公式、定理的理解与数学思想的掌握是高等数学的学习的基础

我国著名教育家、数学家苏步青曾说过：扎扎实实地打好基础，练好基本功，我认为这是学好数学的“秘诀”。大学阶段的数学学习别于高中阶段数学的学习，大学阶段高等数学学习主要依赖公式（基本初等函数求导公式、微分公式、积分公式不定积分公式16个，定积分重积分的性质7条等），这都是学习微积分的基础希望大家在深刻理解的基础上能够熟练掌握每一个公式的用途。

在讲解定积分定义的时候，引入我国三国时期曹冲称象的历史故事。通过这一案例引导学生发现问题（计算总量，即在当时条件下得出大象的体重）分析问题（通过思考分析将大象的重量转化为相同重量的石头）解决问题（通过称得石头的重量得到大象整体重量）。进而引入计算一般总量问题的微元法。

在定积分的学习中我们引入了微元法。它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面有广泛应用。微元法是通过分割（取区间微元）、近似（写总量微元）、求和、取极限（表示为定积分）四个步骤将计算总量的问题转化为定积分。

首先，我们从简单的求不规则几何图形的面积表示为定积分的过程讲述微元法的原理，通过计算旋转体体积、平行截面面积已知几何体体积的计算理解微元法在解决实际问题中的应用;在讲解二重积分、三重积分和曲线曲面积分定义与计算方法时，引导学生深学生使用微元法思想结合类比思想得出相应的计算公式，进而引导学生真正理解好“化整为零”的微分过程与“积零为整的” 积分过程。

四、数学学习中迂回思想及迂回思想在求解微分方程中的应用

我国著名兵法著作《孙子兵法·军争篇》曾记载："先知迂直之计者胜"。军事中的迂回战术是指：避免与敌人正面交锋对抗，攻击敌人后方较为薄弱一面的一种战术。迂回思想体现出在一定条件下弯路比直路近的辩证思想。

近代数学中成功地应用迂回战术协助解决四色猜想、费马猜想和哥德巴赫猜想三大数学难题。

在高等数学的学习过程中，有一部分问题直接从正面求解比较困难或无法入手，我们可以根据题目的特点采用进退结合的辨证思想，迂回式地间接得到问题的解，从而起到事半功倍的效果.

在讲解一阶非齐次线性微分方程（1）的求解时，直接求解困难很大，我们可以退一步求解它所对应的的一阶齐次线性微分（2）。

我们可以通过分离变量法求解方程（2）的通解 ，其中 为任意常数.但是我们的目标仍然是求解方程（1）的解我们对比方程（2）的求解过程对（1）移项整理 积分得 记为

这样我们就得到方程（1）的解（3），将（3）带入（1）中确定出（3）中的系数 最终得到（1）的通解 。

这个问题的求解过程我们通过没有直接去求解问题（1）而是通过求解对应的齐次方程和待定系数最终迂回到问题解的过程。

迂回思想在本章求解二阶常系数非齐次线性微分方程的解的时候仍然适用。在求解如下二阶非齐次线性微分方程 （4）时，我们首先避开直接解困难的二阶常系数非齐次线性微分方程（4），而是迂回到求解（4）对应的二阶常系数齐次线性微分方程所对应的二阶齐次线性微分方程 （5）的通解 ，再计算（4）的一个特解 ，通过解的叠加原理最终回到原问题二阶常系数非齐次线性微分方程（4）通解 .

另外，迂回思想同样在求解概率论中复杂事件概率时也同样适用，例如：在求解如下面问题：一辆长途客车从车站出发时载有25名乘客，共经过10个停车点，每位乘客在任意一个停车点下车的概率相同（设每位乘客下车与否不受其他乘客的影响），只有乘客下车时长途汽车才在停车点停车，求长途汽车在第 个停车点停车的概率。根据题意，每位乘客在第 个停车点停车下车的概率均为 。设事件  为“第k个乘客在第i个停车点下车”，事件 为“第 个停车点停车”，可以将此问题看成25重伯努利试验。直接计算事件B的概率需要按照伯努利概型分别计算在第i个停车点恰好有 人下车的概率后求和。也可以将问题迂回到对立事件再求概率，即计算 ，已知 故第 个停车点无人下车的概率为 因此长途车在长途汽车在第 个停车点停车的概率为 。对立事件的使用将此问题复杂事件的概率計算变得简单。

高数课程思政要在深刻理解课程思内涵的基础上结合数学学科特点与数学文化、数学史、数学家等相关的思政元素，形成适合课堂的教学案例使思政元素与数学知有机结合，力争达到春风化雨，润物无声的全方位育人目的。

基金项目：山东政法学院教改项目：基于课程思政的高等数学课程教学探索（2020ZJGB008）。

参考文献：

[1] 习近平. 习近平谈治国理政（第2卷） [M]. 北京： 外文出版社，2017.

[2] 吴赣昌. 高等数学（第五版）（上册） [M]. 北京： 中国人民大学出版社，2007.