比较函数式大小的常用方法

陆华思

比较函数式的大小是高考中的高频考点，近几年常作为选择题的压轴题.比较函数式大小的常规途径有利用函数的性质以及通过作差或作商比较大小.本文结合实例谈一谈比较函数式大小的两个途径.

一、利用函数的性质比较函数式的大小

有时要比较的两个函数式为简单的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数或者复合函数，此时我们可以结合函数式的特点构造函数模型，借助二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性或复合函数的“同增异减”的性质来比较它们的大小.

例1.已知n= log20.2，6=20.2，c= 0.2 03，则（ ）.

A.a

B.a

C.c

D.b

解：a= log2 0.2< log21=0，

b= 2 0.2> 2 0=l。

O

本题中的函数式分别为指数函数和对数函数，我们利用对数函数和指数函数的单调性，将a与0，b与1，c与1比较，进而比较出三者的大小.

例2.设厂（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（

）.

A.

B.

c.

D.

解析：因为f（x）是R上的偶函数，

所以

因为

，f（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以f（2）

即厂（2—1）>，可把、

转化为同一个单调区间上的函数，再根据函数的单调性比较函数式的大小.

二、通过作差或作商来比较函数式的大小

比较函数式的大小问题多以选择题的形式出现，在比较一些简单函数式的大小时，我们可以将要比较的两函数式相减、相除，然后根据函数的运算法则进行变换、整理，将化简后的结果与0、1比较，进而得出两个函数式的大小关系.

例3.设a= log 0.2 0.3，b=log2 0.3，则（ ）.

A. a+b

B.ab

C. a+b

D.ab

解：

= l0g 0.3 0.2+l0g 0.3 2= l0g 0.3 0.4，

因为o< l0g 0.30.4<1，所以

（*）.

又a>0，b<0，则ab<0，

将（*）式左右同乘ab得ab

本题主要考查对数的运算和不等式的性质.题目中的选项要求我们计算a+b、ab的值，再用作差法或作商法比较函数式的大小.这里把

转化为

，可减少计算量.

例4.已知55< 84，134< 85.设a=log53，b=l0gs5，c= log138，则（

）.

A.a

B.b

C.b

D.c

解：由题意易知a，b，C∈（O，1），

所以a

由6 =log 5，得8b=5，即8 5b= 5 5;

由c= l0g 13 8，得13 c=8，即13 4c=84.

因为55< 84，134< 85，

所以13 4b< 8 5b= 5 5< 8 4= 13 4c，即4b<4c，则b

综上可得a

本题不仅考查基本不等式、指数式与对数式的互化，还考查了指数函数的单调性，用作差法难以求得结果，所以本题可以用作商法以及基本不等式得出a，6大小，结合5 5< 8 4，13 4< 8 5判断出b、c的大小.

从上述分析我们可以看到，要比较函数式的大小，就要会转化已知的函数式，如构造函数模型，利用函数的性质;通过作差或作商，根据函数的运算法则化简结果，方能找到解題的突破口.除此之外，同学们要学会将函数式与图形结合，运用数形结合思想来辅助解题.

（作者单位：广西贺州第一高级中学）