如何利用平面几何知识解答解析几何问题

孙召考

解析几何是高考考查的重点内容.在解答解析几何问题时，我们常采用“纯代数”的方法，如建立方程组、利用韦达定理等进行求解，但其计算量较大，解题过程复杂，很多同学在解题巾经常出现半途而废的现象.而运用几何方法，借助平面几何知识来解答解析几何问题，能有效减少运算量，大大提升解题的效率.

一、利用与三角形有关的性质、定理求解

利用与三角形有关的性质、定理来解答解析几何问题的关键在于，结合问题中的条件绘制对应的图形，构造三角形，然后灵活运用与三角形有关的性质、定理，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的中线即为三角形的高线，等边三角形的五心合一，三角形的内角平分线定理，等等，来建立等量关系，使问题得解.

例1.如图1，Fl. F2分别为椭圆C：

的左右焦点，过F2作x轴的垂线L，L与圆（x-1）2 +y2= 4a2交于点4，与椭圆C交于点D，延长AF1交圆F：于点B，连接BF2交椭圆v于点E.已知DF1=

，求点E的坐标.

解：如图l，连接EF1.由椭圆的定义以及方程可知EF， +EF2 =2a =4，

由圆的方程可知BF2= 2a=4，

我们通过观察与分析可以发现，图1巾暗含两对等腰三角形△BF2A和△BEF1，由等腰三角形的性质可知∠BF1E=∠BAF2，从而得出EF1∥AF2，进而求得点E的坐标.

例2.椭圆C：

的左、右焦点分别是F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.若点P是椭圆C上除长轴以外的任一点，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围.

解：在△PF1F2中，PM平分∠F1PF2，

由三角形內角平分线定理得

又点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，

所以a-c<|PF1|

即

解得

解答本题，主要运用三角形内角平分线定理：若AABC中∠A的平分线为AD，则

.我们由PM平分∠F1PF2，得到三边关系式，求得|PF1|，然后根据椭圆上的点到焦点的距离的范围，求得m值.

二、利用与圆有关的性质、定理求解

在解题时，我们经常会遇到一些与圆有关的问题，此时我们可以利用与圆有关的性质或定理，如直径所对的角为直角、弦心距与半径之间的关系、垂径定理、圆周角定理、切线长定理等来解题.

例3.在平面直角坐标系xOy中，A为直线L：y=2x在一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线L交于另一点D，若

，求点A的横坐标.

解：由AB-CD =0可得∠BAO=

，设直线L的倾斜角为θ，

则tan0=2且∠ABx=

故kAB=

则直线AB的方程为y=-l3x+15，

将其与直线L：y=2x联立得x=3，

所以点A的横坐标为3.

由于AB为圆的直径，根据条件AB-CD：0以及圆的性质：直径所对的角为直角可知△ABD是等腰直角三角形，便能快速建立直线AB的倾斜角与直线2的倾斜角之间的关系：

，利用斜率公式即可求出直线AB的斜率和方程，联立直线AB和直线L的方程便能求得点A的横坐标.

可见，运用平面几何知识来解答解析几何问题，能有效提升解题的效率.在解题时，我们首先要结合题意绘制对应的图形，然后根据曲线的几何性质添加辅助线，构造圆、等腰三角形、平行四边形、梯形等，利用与圆、等腰三角形、平行四边形、梯形等的相关性质、定理来解题.

（作者单位：江苏省沭阳县建陵高级中学）