妙用求和法，巧解数列题

郭延岭

数列求和问题是数列问题中一类综合性较强的问题.对于常规的等比数列、等差数列，我们可直接利用等比数列、等差数列的前n项求和公式来求得.当遇到非常规的数列，我们需要灵活运用一些方法，如分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法等来求数列的和.

一、分组求和法

分组求和法是求数列和的一种常用方法.有些数列是由几个等差数列、等比数列、常数数列构成，此时我们可以运用分组求和法来求数列的和.首先仔细观察数列的通项公式，将其分成几个简单的等差数列、等比数列、常数数列，然后分组求出各个数列的和，综合所得的结果即可求出原数列的和.

例1.已知数列{an}的前n项和Sn=

n∈N*.

（l）求数列{an}的通项公式;

（2）设bn=2an+（-1）nan，求数列{bn}的前2n项和.

解：（1）略：

（2）由（1）知an=n，故bn=2n+（-1）n n.

记数列{bn}的前2n项和为T2n则T2n=（2 1+2 2+…+2 2n）+（-1+2—3+4-…+2n）.

记A=2 1+2 2+…+2 n·B=- 1+2-3+4- +2n.

B=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（2n-1）+2n]=n.

故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=2 2n+1+n-2.

由{bn}的通项公式可以看bn是由通项为2n的等比数列和通项为（-1）n n的摆动数列组成，需根据等比数列的前n项和公式和摆动数列的通项来求和.根据数列的通项公式合理拆分数列是运用分组求和法求数列和的关键.

二、错位相减法

如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列的对应项的乘积组成，那么我们就可以运用错位相减法来求这个数列的前n项和.在求和时，我们需要将和式的左右同乘以等比数列的公比，然后错开一位，使其对应项的幂相同，以便将两个和式相减，化简所得的结果，便可求得数列的和.

例2.已知等差数列{xn}的前n项和为Sn，{yn}为等比数列，且y2 =X1=2，X4 +y4= 27，S4 -y4= 10.

（l）求{yn}，{xn}的通项公式;

（2）若Tn=xny1+xn-1y2+ - +x1yn， n∈N*，求证：Tn+ 12= -2x n+lOy n. 解：（1）

將两式错位相减可得

在写出“Sn”与“aSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

三、裂项相消法

裂项相消法是把数列的通项拆成两项之差的形式，再进行求和的方法.运用裂项相消法可以使和式中间的一些项相互抵消，简化运算的过程.值得注意的是，和式中的有些项是依次抵消，有些项是间隔抵消，

例3.已知函数f（X） =Xa的图象过点（4，2），令an=

1

记数列{an}的前n项和为Sn求S2018的值.

解：由f（4）=2，可得4 a =2，解得a=吉，

则f（X） =

所以

为了得到该数列的前n项和Sn，需要把an拆分为相邻两项差的形式，可将通项裂开，再运用裂项相消法来求和.

对于非等差、等比数列的数列求和问题，一般有两种求解思路：（l）将其转化为等差或等比数列;（2）若不能转化为等差或等比数列，则需要运用一些方法，如分组求和法、并项求和法、错位相减法，通过分解通项或错位相消来完成求和.

（作者单位：山东省高唐县第二中学）