灵活运用函数思想，提高解题的效率

杨鸣宇

函数思想是高中数学中比较重要的一种数学思想，是指构造函数模型，利用函数的图象和性质解题的数学思想.函数思想在解答高中数学问题中应用广泛，在解答方程、不等式、解析几何、概率等问题时，经常需要运用到函数思想.在解题教学中，教师可引导学生运用函数思想来辅助解题，这样能达到化繁为简、化难为易的目的，有助于提升解题的效率.

一、函数思想在方程解题教学中的应用

方程与函数的关系紧密.一般地，函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标，即函数的零点，是方程f（x）=0的解.因此，在解答方程问题时，教师可以引导学生结合方程的特点来构造相应的函数模型，然后借助函数的图象和性质来讨论方程的根的情况.

例1.已知函数f（x）=x2 -2x，如果关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4个不同的实数根，且所有实数根的和为2，求实数t的取值范围.

解：令h（x）=f（a-x）+f（x），则h（a -x）=h（x），

则h（x）的图象关于直线

对称.

又因为方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0的4个实数根之和为2，

所以4xa=2，a=l.

故

作出函數h（x）的图象，如图所示，

由图象可知，当

时，函数y=h（x）的图象与y=t有4个不同交点.

所以实数t的取值范围为

.

在解答本题时，教师要引导学生从函数的角度去思考该方程问题，将方程有四个实数根转化为两个函数图象有四个交点，然后借助函数图象来求得t的取值范围.

二、函数思想在不等式解题教学中的应用

在解答不等式问题时，函数思想发挥着巨大的作用.在解题时，教师可指导学生根据不等式的形式构造合适的函数，然后利用函数的单调性、奇偶性、最值等来建立新的不等式关系，使不等式问题快速得解.

例2.若对任意0≤m≤4，不等式X2+ mx+3>4x+m恒成立，求x的取值范围.

分析：本题直接求解较为困难，教师可以引导学生将m看作自变量，构造函数厂（m） =x2+（m -4）x+3-m，只需要使当0≤m≤4时，f（m）>0恒成立，求x的取值范围即可.要使f（m）>0恒成立，学生需要利用二次函数的性质，求得f （m）的最小值. 解：设f（m） =X2+ （m - 4）x+3-m=（x- 1）m+ （X2-4x+3），

若x-l≥0，即x≥1，则y=厂（m）在定义域内是增函数，

则f（m）-=f（0）=x2-4x+3>0，

解得x>3或x3.

若x-l<0，即x

则f（m）max=f（4）=x2—1>o，

解得x>1（舍去）或x<一1，故x<-1.

综上所述，x的取值范围为x<-1或x>3.

在解答此类问题时，教师要引导学生尝试将不同未知数看作变量，构造函数，灵活运用函数思想来解题.

在解题教学中，教师要重视渗透函数思想，让学生明确函数思想的应用条件和技巧，并组织他们开展有针对性的训练，让其学会运用函数思想来辅助解题.

（作者单位：江苏省溧阳市光华高级中学）