如何运用基本不等式求最值

黎华高

基本不等式是求解最值问题的重要工具.运用基本不等式：

求最值需要把握三个前提条件：一正二定三相等.一正是a、b两个数都为正数;二定是指如果积ab是定值p，那么当且仅当a=b时，和a+b有最小值

，如果和a+b是定值p，那么当且仅当a=b时，积ab有最大值

;三相等是当且仅当a=b时不等式取等号.在运用基本不等式求最值时，要首先确定两个式子是否为正数;然后配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值;最后检验当且仅当两式相等时不等式是否能取等號.

而运用基本不等式求最值的关键是，配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值.配凑出两式的和或积的常用方法有添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式，下面举例说明.

例1.当x>l时，求x+

的最小值.

解：x>1，

x-l>0，

当且仪当x-1=，即=2时取等号，

ymin=3.

该目标式含有整式和分式，为了使它们的积为定值，需添加一项-l，构造出分式的分母，以便利用基本不等式来求得目标式的最小值.

例2.求y=

（x>-l）的最小值.

当x > -1，即x+l>0时，y≥2+5=9，且仅当x=l时取“=”号，所以ymin=9.

该目标式看似无法运用基本不等式，但将分式、整式分离，便创造出运用基本不等式的条件.

例3.已知正数a，b满足

，求a+b的最小值.

解：由

得a+b=3ab，所以b=

，

由于a>O.b>0，可得a>，

时取等号，所以a+6的最小值

.

在解答含有多个变元的最值问题时，可以通过减少变元的方式，把问题转化为只含一个变元的问题，然后通过添加项配凑出两式的和或者积，再利用基本不等式求最值.

例4.

当且仅当

时，等号成立，

这里，我们利用“1”的代换来构造出运用基本不等式的条件.通过常数代换，可把所求的目标化为可以使用基本不等式求解的式子，以达到解题的目的.

例5.已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=ab的最小值.

解：由题意得30-ab =a +2b，

我们由已知不等式出发求出ab的范围，进而求得目标式的最值.解答本题的关键是利用基本不等式建立a+b与ab之间的关系.构建目标不等式是创造应用基本不等式条件的常用方法.

很多问题往往所给的条件是非“标准”的，无法直接利用基本不等式来解题，因而在解题时，我们需要将不等式进行适当的变形，通过添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式等方法，对“原始”的条件进行整合、转化，构造出“一正二定三相等”的三个条件，以保证可以用基本不等式求最值.

（作者单位：福建省长乐第七中学）