聚焦概率统计常考问题 感知高考命题变化趋势

黄光洲

(福建省上杭县第一中学 364200)

概率统计与实际生产生活高度关联，在相关命题模式中，此类问题一般都会设计成以实际背景为命题素材的概率统计问题，每年此类试题的命制都有所创新，下面我们主要以2021年的高考试题为问题导向，对常考的命题模式进行归纳.

一、注重基本知识考查,检测学生基本技能

例1 (2021年全国甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计见表1：

表1

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

表2

(2)根据2×2列联表，可得

≈10.256>6.635.

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

点评独立性检验的关键在于正确列出列联表，再根据独立性检验的计算公式正确计算，此类问题凸显出了概率统计的基本内容，是当下概率统计命题的主流方向.

二、紧扣时代背景素材,显示数学应用价值

例2 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ).

A.60种 B.120种 C.240种 D.480种

点评以2022年北京冬奥会为背景，选取了热点素材，紧跟时代背景，在检查概率的基础知识上，融入了新的热点素材.

三、知识交汇融合，提升素养文化

例3 (2021年新高考Ⅱ卷21题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代.该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，p(X=i)=pi(i=0，1，2，3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

解析(1)由题意，P0=0.4,P1=0.3,P2=0.2,P3=0.1,故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

(2)由题意可知，p0+p1+p2+p3=1,则E(X)=p1+2p2+3p3.

所以p0+p1x+p2x2+p3x3=x.

变形为p0-(1-p1)x+p2x2+p3x3=0.

故p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0.

即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0.

即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0.

注意到f(0)=-p0<0,f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1,

当E(x)≤1时，f(1)≤0,f(x)的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p=1;

当E(X)>1时，f(1)>0,f(x)的正实根x0<1,原方程的最小正实根p=x0<1.

(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；

当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能.

点评本题主要考查了概率与函数方程的综合,考查离散型随机变量的期望计算,函数与导数的应用,能够较好地考查学生的数据处理能力和创新意识，这类考题在近年来考查频繁、难度一般较大.