突破概率统计 领略变式命题

张 庆

(江苏省徐州市侯集高级中学 221300)

变式教学是一种常见的教学手段，能够凸显问题的本质，发现问题的本源，并对所给问题进行深入思考和探索，在平时的复习之中，这种模式能够举一反三，做到会一题，通一类的目的，本文主要从概率统计的实际例题出发，给出了相关变式.

一、概率母题分析，紧扣例题延伸

例1 (2021年八省联考适应性考试)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果见表1所示.

表1

(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210)，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P(36

(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

(ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；

(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率见表2.

表2

现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.

解析(1)由题意，得μ=(35×25+45×150+55×200+65×250+75×225+85×100+95×50)/1000=65.

点评正态分布小题的考查主要集中在正态曲线的性质，大题主要结合概率或统计图表进行综合命题，难度中等.解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.

变式1 若P(Z<30a+50)=P(Z>20a+30)，求实数a的值.

解析随机变量Z服从正态分布N(65，210)，P(Z<30a+50)=P(Z>20a+30)，所以30a+50与20a+30关于x=65对称，所以30a+50+20a+30=130，所以a=1.

变式思路根据母题信息可知，Z服从正态分布N(65，210)，再此基础上可继续延伸，从而设计出求实数的值.

变式2 记Y表示这1000人的得分位于区间(36，79.5)的人数.已知Y服从二项分布B(n,p)，利用(1)的结果，求E(X).

解析由(1)可知，一人的得分位于区间(36，79.5)的概率为0.8186，依题意知Y～B(1000，0.8186)，所以E(Y)=1000×0.8186=818.6.

变式思路在第(1)问的基础上，设计不同的分布类型，巧妙设计二项分布问题.

二、拓展例题模式，设计同类问题

例2(2021年广东潮州一模)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9,10),[10,11),[11,12),[12,13),[13,14)五个小组(所调查的芯片得分均在[9,14)内)，得到如图1所示的频率分布直方图，其中a-b=0.18.

图1

(1)求这100颗芯片测评分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).

(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测.若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p=1-0.05-0.25=0.7.设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500.

点评概率与样本分布作为考查考生应用意识的重要载体多与频率分布直方图或频率分布直方表进行结合命题，常常考查平均数、中位数、众数的相关计算、正态分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，有时还会与函数、数列等内容进行交汇考查，命题背景较为新颖.

变式1 根据样本数据，试估计这100颗芯片测评分数的众数和中位数(结果保留两位小数)；

解析由频率分布直方图可估计这100颗芯片测评分数的众数为20克，第一组数据的频率为0.05×1=0.05，第二组数据的频率为0.25×1=0.25，第三组数据的频率为0.35×1=0.35，所以中位数在第三组内.设中位数为11+x，则x×0.35=0.5-0.05-0.25=0.2.所以x≈0.57.所以中位数为11.57，

变式思路第(1)问设计出了求解中位数的内容，因此可根据本题进行深入变式，对于同类的问题还有众数和中位数，因此可联系到求解测评分数的众数和中位数.

变式2从这100颗芯片中随机抽取3个，其中测评分数在[10,11]内的芯片个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).

变式思路本题以芯片为背景，考查了离散型随机变量的分布区列和数学期望，因此设想设计不同的概率统计分布，故此题设置了二项分布，考查了二项分布的分布列和数学期望.

三、掌握变式方式，灵活运用教学

变式练习的好处在于可以深入对问题进行探究，拓展知识层面，能够较好地使学生形成概率统计思想和数据统计的核心素养.在平时的教学中，若能够通过变式的手段，将变式方案融汇到教学中，将会促进课堂的教学氛围更加活跃.

变式教学若充当例题进行讲解时，可以以题带面，充分挖掘题目背景，设计本章节的不同类型的试题，这样能够对问题进行广泛探索，让学生学习舒适的同时更能够掌握所学知识.