挖掘试题几何背景 优化问题解决策略

摘要：充分挖掘试题的几何背景，以几何图形为线索，活用正弦定理与余弦定理是解三角形的关键.掌握解三角形中常见的几何背景及处理策略对突出重点、突破难点、优化求解过程具有重要意义，既可以在巩固四基的基础上发展四能，还可以在问题解决过程中发展数学核心素养.文章主要介绍解三角形问题中常见的平行四边形、矩形、动态三角形、圆、椭圆等几何背景及其一般解题策略.

关键词：解三角形;几何背景;平行四边形

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0012-03

解三角形的三条知识主线分别为边、角、面积;主要考查正弦定理、余弦定理与面积公式等核心知识.边的角度多考查中線、角平分线、高线或是其它等分线;角一般涉及互余、互补、相等、公共角;面积既考查单个三角形的面积也考查复合三角形的面积.几何背景以平行四边形、矩形、圆、椭圆为主;设问方式以基本量的直接求解和探究基本量的取值范围两种形式为主.

一、以平行四边形为背景

试题分析本题重点考查三角形的边角关系，属于有一条公共边且公共边为中线的复合三角形问题，其几何背景是平行四边形.处理此类问题的方法较多，思考角度不同可以得出不同的解题方法.

评注该题的求解关键是能挖掘出问题背后所隐藏的平行四边形这一重要几何背景并能充分利用平行四边形的基本性质解决问题.从以上求解思路中可以看出边角关系的合理互化是该类问题解决的基础，但是如果只是单一地追求代数运算必然会出现类似于思路1所呈现的需要在不同的三角形中多次运用正弦定理或者余弦定理，运算量较大，不适用;而另外几种方法充分利用了几何性质，相对于思路1更加优化，思路清晰、过程简洁，提高解题效率.

二、以矩形为背景

试题分析可以将例2看作例1的特殊化，思考问题的方向和例1基本相同，解决该题既可以考虑运用正弦定理或余弦定理实现代数运算，也可以重点挖掘问题背后的几何背景并充分利用矩形的几何性质解题.从众多的解法中可以看出充分利用几何背景及其几何性质可以更高效简洁地得出结果.

试题分析试题呈现的是有一条公共边的两个三角形复合而成的四边形问题，本质还是解三角形，灵活用好正弦定理与余弦定理可以完成对该题的解答，这也是解三角形的常规思路和一般方法.但是要能顺利解决问题往往需要通过复杂的推理与运算过程，而且在运算的过程中容易出现错误.

试题分析已知三边的等量关系求解角的取值范围可以根据余弦定理实现边之间的等量代换，再结合不等式性质得出结果.但是认真思考该问题可以发现若边长b为定值，根据式子结构容易联想到椭圆的定义，不妨将该三角形至于图13所示的椭圆之中实现解法优化.

参考文献：

[1]陆峰.一类三角形问题的几何模型解法[J].高中数学教与学，2019（09）：9-11.

[2]施倩.解三角形中一类取值范围问题的解法探究[J].中学数学教学参考，2019（24）：33-36.

[责任编辑：李璟]

作者简介：唐明超（1992-），男，云南省宣威人，硕士，中学二级教师，从事高中数学教学研究.