随机变量均值与方差的题型解析

摘要：离散型随机变量均值与方差的题目是历年高考重点，考察学生分析与解决实际问题能力，对于随机变量均值与方差的题目有填空与选择题，还有大的解答题，对于此类题型的解析需要学生先掌握考点，在熟悉基础知识上再进行相关题目的分析与解答，旨在帮助学生快速缕清问题并解决问题.

关键词：随机变量;均值;方差;例题

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0023-02

作者简介：周语华（1975.7-），男，江苏省盐城人，硕士，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：江苏省教育学会“十三五”教育科研规划2017年度一般规划课题《核心素养视角下高中数学校本课程的开发与实施研究》（批准号：17A20J4YC129）

一、考点梳理

二、随机变量均值与方差的题型解析

1.根据离散型随机变量的均值与方差的解题

过程为：第一，先确定离散型随机变量的可能值.第二，求可能值对应的概率，第三，书写分布列，检查正误.第四，求均值与方差.

例1商店以5元的单价进购一批蛋糕，然后以10元一块的价格出售，若当天卖不完，则扔掉以垃圾处理.

（1）第一天商店进购16块蛋糕，求那天的利润y（元）与当天所需量n（块）的函数解析式.

（2）商店对近100天的蛋糕日需求量进行整理，做出表1，以此需求量的频率当做各需求量的概率.若商店一天购进16块蛋糕，X为当天的利润，求X的分布、数学期望与方差;若商店一天进购16或者17块蛋糕，你认为进多少块更合理？

点评本问题所求的随机变量均值与方差要先确定所有可能的值，然后分别写出随机变量分布，最后再运用正确的公式计算.解题的时候要关注随机变量的概率分布特征，如果是二项分布，则使用二项分布的均值与方差公式进行计算更加简单.

2.求二项分布的均值与方差问题

例2中央电视台与唯众传媒联合制作的《开讲啦》为一档青年电视公开课节目，节目一开播就受到观众的喜爱.电视台随机调查了甲、乙两地中的一百名观众，得到2×2列表为表2：

在被调查的一百名观众中随机抽取1名，为乙地区中非常满意观众中的一员的概率为0.35，且4y=3z.

（1）从这一百名观众中，通过分层抽样的方法抽取20名问卷进行调查，抽取满意的甲、乙两地人数都为多少？

（2）请你完成表2，并依据此判断是否有95%的把握确定观众的满意程度与所在地区相关.

（3）以抽样调查频率为概率，先从甲地抽取3人，抽到非常满意的人数为X，求X分布列与期望值.

3.非二项分布均值与方差问题

例3我校实验班与普通班一个学期内一共进行了四次考试，该阶段的数学试卷每一题都有区分度，则q1=实验班得分率-普通班得分率，若q<0.3，则确定此题区分度不好.若在实验班中进行抽样调查，以12题为例，可在班级成绩在前八名和后八名的学生中各随机抽取2人，此4人答题结果为计算区分度，则q为前后各8名各抽取2名学生的正确率，同样q<0.3，则确定此题区分度不好.问：

（1）从年级的角度分析，若区分度不好的概率为p，四次考试中则至少有一次区分度不好的概率为0.9375，求p的值;

（2）实验班前八名学生中有7人答对第12题，后八名中有四人答对，依据抽样结果，求该题区分度不好的概率.在抽取的四人中，β为答对12题的人数，写出其分布列，求出E（β）.

解（1）根据列式1-（1-p）=0.937，得到p=0.5.（2）从“该题区分度不好”这句话可总结为几个互斥事件，第一，实验班前八名与后八名学生中各抽取的两人中有一人未答对，且从后8名同学中抽到的2人中至多有1人来答对，最多有1人未答对，其概率为11/56;实验班中前八名与后八名学生中抽取的2人中全部答对，其概率为9/56，以此得到该题区分度不好的概率为两组数据相加，为5/14.第二，根据题意β=1.2.3.4求P（β=1.2.3.4）的值分別为3/56、17/56、27/56、9/56，E（β）=11/4.

综上得出离散型随机变量均值与方差的计算过程，并根据随机变量X-B（n，p）直接使用公式求解;随机变量的期望表达其取值的平均水平，因此可以通过随机变量作为实际应用题中方案取舍的主要依据，如果先比较均值，若均值相同，则以方差决定.

参考文献：

[1]郑丽娟.随机变量均值与方差的题型解析[J].高中数理化，2021（01）：4-6.

[2]江志杰.提炼数学模型激活运算素能——由“离散型随机变量的均值和方差”探究组合数列求和[J].中小学数学（高中版），2019（05）：16-19.

[3]杨文金.离散型随机变量的分布列、期望和方差高考链接[J].中学生数理化（高二数学），2018（06）：7-9.

[责任编辑：李璟]