巧用三角反代换单位圆中破疑难

魏榜　胡凤娟　张茜

摘要：三角反代换借助单位圆直观地反映了同角三角函数的关系，不仅能快速确定一般情况fcosθ，sinθ=0时角θ在单位圆中的位置，还能实现三角问题到代数和几何问题的转化.

关键词：单位圆;三角反代换;数形结合;三角方程;三角不等式

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0054-03

三角函数在高中数学中有着相当重要的地位，在全国卷高考中大约占20至30分.但在日常教学中发现，学生在求解三角方程问题时难以精确确定角的范围，容易出现多解漏解等情况.许多题目的解答过程尝试了多种方法对角的范围进行限制，但大多是通过运算的技巧来缩小角的范围，然而技巧较多，适应范围也较为局限，尚无一般通法.

笔者通过研究，在任意角三角函数值定义的基础上总结出了一套通过数形结合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代换法，可有效解决上述问题.

我们知道，三角代换是数学中常用的换元法之一，它能够利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，合理的代换将会使求解过程简单化，甚至使一些很难求的问题快速求解.那么，“三角反代换”会有什么样的妙用呢？

一、三角反代换与单位圆

二、三角反代换用法举例分析

评注可以看出在确定角所在象限估算角的范围时，三角反代换是一个非常简洁的方法，通过数形结合能够直观地看出角的大小，在不追求准确计算时非常实用，能起到出奇制胜的效果.

评注例2及其变式示范了三角反代换在求解三角不等式时的用法，它能够借助函数图像将三角不等式转化为函数不等式问题，使三角不等式与函数紧密相连，体现了函数与不等式的转化思想.

2.将三角问题转化为代数问题或几何问题

评注许多教师对此题进行过深入研究，提出的解法有十余种之多，常见的有解方程、平方处理、万能公式法，也有比较新奇的向量法、求导法等，代数换元法、柯西不等式法、辅助角法、单位圆法等.这些解法大致可以分为两类，一类是想方设法建立方程;另一类是抓住最值进行构造，通过满足最值所需条件求解tanθ.

评注此题以直线与圆的几何关系为背景考察了三角关系式的证明，有一定综合性.解题关键在于构造直线与单位圆相交的模型，进而挖掘目标式的几何意义即可求证.需要特别注意的是，由于直线与圆的特殊位置关系，在三角函数中也应该蕴含有与之对应的丰富的关系式等待读者的挖掘.

评注此题是典型的三角函数问题，常见解法是借助辅助角公式和三角函数图像进行求解.上述解法通过挖掘三角函数隐含的平方和关系，将三角函数问题转化为代数问题，又通过数形结合转化为几何问题.

本题由人教A版导数章节教材复习题稍加改变而来.许多教师对此题作了非常深入的研究，提出了多种解法，有常规的导数法，技巧性较强的基本不等式法，运算量较大的均值不等式法，还有构造单位圆内接三角形的构造模型法等，思路新颖.笔者结合三角反代换，分析一种新的解题方法.

评注与导数法，基本不等式法等其他方法相比，三角反代换思路“新奇”，充分挖掘三角函数的隐含条件，为解决三角最值问题提供了一条全新的思路.能解决一些导数所不能解决的问题，如求f（x）=sinx+cosx+sin2x的最值.

三、教学建议

2017版高中数学课程标准中特别指出：在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用.三角反代换在单位圆中的应用兼具思想性、实用性与新颖性等特点，契合新课程标准的理念，不仅集中体现了众多数学思想方法，更体现了数学的对称美！

在教学过程中教师要注意启发学生，引导学生体会几个重要的转化过程，注意思想方法的渗透，让学生感受转化思想的奇妙.笔者认为重要的转化过程有：

笔者认为三角反代换是众多核心知识点、核心思想方法的交汇处，其教学对于提高学生的综合能力、培养学生思维、领悟数学基本思想方法大有益处.

数学家波利亚曾说：“一个想法使用一次是技巧，经过多次的使用就可以成为一种方法”.三角反代换在解三角方程、三角不等式等问题时有显著優势，尤其是在确定角的范围、估计角的大小时使用方便灵活.三角反代换丰富了单位圆的应用，既体现了坐标定义三角函数的优势，又能培养学生的数形结合能力、综合应用知识的能力.此外，三角反代换还实现了三角函数问题到几何或代数问题的转化，为解决三角函数问题打开了一扇新的大门！笔者水平有限，本文实乃抛砖引玉，期待读者朋友们对三角反代换进行更加深入的研究，探寻三角函数更深处的奥秘！

参考文献：

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[5]黄洪光.多管齐下，破解三角函数最值题——以2018年高考数学全国卷Ⅰ理科第16题为例[J].中学数学教学参考，2019（15）：61-62.

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[7]胡凤娟，吕世虎，王尚志.深度理解 普通高中课程方案[J].数学教育学报，2018，27（01）：18-21.

[责任编辑：李璟]

作者简介：魏榜，男，从事高中数学教学研究.胡凤娟，女，从事高中数学教学研究.

张茜，女，从事高中数学教学研究.