四种策略解三角形最值问题

陈映森　刘延霞

摘要：解三角形是高考常考的一个考点，会涉及到正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式，等一起联合考查，难度属于中档层次.一般着重求三角形的边长、周长、面积等的最值.主要的应对策略有四种：①基本不等式法，将所求用“边”表示;②三角函数的有界性法，将所求用“角”表示;③几何法，利用动点的几何性质求解;④三角换元法，利用换元代替求解.

关键词：基本不等式;三角函数;余弦定理

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0046-02

一、题根研究

点评在解三角形的题型时常常要用到“化角为边”或者“化边为角”，此题通过三角形的正弦定理将边关系用角的关系表示，再通过三角函数的有界性去求解最值问题.

点评通过数形结合和几何性质，将解三角形面积的最值问题，等价为圆上动点问题，进而得出结论.

点评此方法类似三角函数的有界性，但是思想与解法二有所不同，最终运算方法相同，解法2应用的正弦定理，而解法4是通过构造参数方程的方法求解，主要思想是换元.

二、变式训练

点评此题的解題思想是将边的关系式转化为只含有角的关系式，利用三角函数的有界性即可.

点评几何法是归到动点问题，无论面积还是周长，都可以通过数形结合的方法构造出运动轨迹，从而进行求解.

三、解后反思

总之，解三角形最值问题的这四种策略，有相似之处，也有它们不同的地方.面对变化多端的题型，我们需要从不同的角度挖掘，理解题目的本质，考查的知识点是哪些，思考这个问题后再选择合适的方法去解题.相对来说，学生可以根据自身对知识点的掌握程度合理地去选择方法.

参考文献：

[1]高磊.一题多变，玩转解三角形最值问题[J].高中数理化，2020（17）：13-15.

[2]钟国城.三角形中的最值问题[J].数理天地（高中版），2021（01）：3-6.

[责任编辑：李璟]

作者简介：陈映森（1995.3-），男，江西省赣州人，硕士，从事高中数学教学研究.

刘延霞（1997.11-），女，江西省赣州人，硕士，从事高中数学教学研究.