电流场透地通信电场的数学建模与分析

刘宝衡， 付天晖， 王永斌

(海军工程大学电子工程学院， 武汉 430033)

在现代工业与城市建设快速发展的背景下，无线透地通信有着十分巨大的社会价值和实用前景[1]。在矿产资源开采、自然灾害后的人员定位与搜救、 城市建设、土壤监测等方面都能发挥十分重要的作用[2-4]。电流场透地通信系统以插入地下的电极作为收发天线，发射机通过驱动极低频(extremely low frequency，ELF)或超低频(super low frequency，SLF)交流电到地下直接发送信号，另一端(地下或地面)的接收器检测合成电流并将其作为电压接收，从而在地面和地下之间建立无线通信链路，实现信息的透地传输[5]。与电磁波透地通信系统相比，电流场通信具有天线尺寸小、结构简单、灵活性好等优势[6]，可以实现稳定的通信和远距离的传输，受到了中外越来越多的关注和研究[7]。

了解地下电流场的分布与传播特性对优化电流场透地通信系统的性能，实现有效的传输具有十分重要的意义。在过去的几十年里，中外学者们对此提出了很多想法，做了大量研究工作。Yan等[8-9]对携带直流电流的线源进行了静电场分析，Wait等[10]开发了一个二维模型来评估地表上携带着ELF/ULF交流电的无限线源在大地内部产生的电磁场，Bataller等[11]提出了一种电极之间的接地阻抗随频率变化的最佳电路模型。在以上工作的基础上，现构建地下电场的三维模型，给出三个电场分量的完整显式解，并基于模型与表达式，仿真分析收发天线的偏移量、相对方位、长度以及工作频率对电场分布的影响。在这些参数中，可以适当地选择一些合适的参数来建立或改善通信联系。以期为更好地研究地下电流场的特点提供基础和理论依据，为实现更远距离的透地通信提供一些指导建议。

1 电场表达式

如图1所示，地面上的发射电极A、B插入地下，接收电极C、D埋入地中。以长度为2l的载流电缆中心为原点O，建立直角坐标系O-xyz，接收电极C、D的连线与x轴之间的夹角为θ，P为接收电极上任意一点，深度为h。载流电缆沿x方向排列，通入交变电流I=I1e-jwt，其中I1为交变电流最大值，j为虚数单位，ω为角频率，t为时间。由于系统的工作频率是在甚低频或超低频范围，且大地属于半导电媒质，位移电流可以忽略不计。高频电磁场部分是由传播效应引起的，具有波理论的特征，而低频电磁场更容易用磁势矢量理论来解决[12]。

图1 电流场透地通信示意图Fig.1 Schematic diagram of current field through-the-earth communication

对于位于x′处的无穷小长度dx′的电流源，磁势矢量Π[13]可表示为

(1)

电场与磁势矢量的关系为

E=-γ2Π+∇(∇·Π)

(2)

经过一定的计算，电场E的3个分量可表示为

(3)

由于工作频率是在甚低频或超低频范围，γ2=jωμ0σ→0，则式(3)可写为

(4)

对发射天线的整个长度从-l～l积分，可以得到点P(x,y,z)的3个电场分量：

(5)

对于水平方向的发射天线，通过式(5)对整个发射天线的长度积分可得到接收电压。

(6)

2 电场特性研究与仿真分析

建立的天线简易模型如图1所示。收发天线均为水平方向，发射天线中心坐标为(0,0,0)，接收天线中心坐标为(x0,y0,-h)，收发天线之间的方向角为θ。假设收发天线长度2l为40 m，接收天线深度h为200 m，电导率σ为0.1 S/m，电流最大值I1为1 A。

由式(4)和式(5)可知，接收天线接收到的感应电压，即发射信号强度，受到工作频率、收发天线偏移量、相对方向和长度等几个因素的影响。下面将讨论这些参数对电场强度和分布的影响。

2.1 收发天线偏移量

在电流场透地通信系统中，发射和接收天线的中心可能不是完全对齐的，也就是说，可能在y方向或x方向上有偏移量。根据式(5)和式(6)可得不同偏移量时，接收天线的接收电压，如图2所示。

图2 接收电压随同轴距离x0的变化曲线Fig.2 The voltage at receiver changes with coaxial distance x0

由图2可知，当偏移量相对较小时，接收电压对偏移量不是很敏感，例如，y0=2l与y0=0之间接收电压只相差0.2 dBV。在偏移量y0一定情况下，随着同轴距离x0的增大，接收电压先减小后增大，接收电压存在一个最小值，表明此处接收到的信号效果最差，且偏移量越大，此最小值越小，对应的同轴距离越大。因此在实际部署时，应避免在此处位置放置接收天线。同时还可以看出，当同轴距离x0≤6l或者x0≥10l时，接收电压随着偏移量的增大而降低，在6l

2.2 收发天线相对方向

由于地下复杂环境的限制，收发天线可能不能相互平行部署，即在图1中，方向角θ≠0。由式(5)和式(6)可得收发天线不同方向角时，不同偏移量下接收天线的接收电压，如图3所示。

图3 接收电压随方向角(θ)的变化曲线Fig.3 The voltage at receiver changes with intersection angle

由图3可知，当偏移量y0<4l时，接收电压随方向角的增大而减小，在收发天线相互垂直时，接收电压最小。当偏移量4l≤y0<8l时，随着方向角增大，接收电压先增大后减小；当偏移量y0≥8l时，接收电压随方向角的增大而增大，在收发天线相互垂直时，接收电压最大。这是因为随着方向角的增大，E场的x分量逐渐减小，y分量逐渐增大，且当收发天线距离相对较大时，E场的y分量占主导地位。图4显示了E场x分量与y分量的比值随接收天线位置的变化。

图4 E场x分量与y分量比值随偏移量y0的变化曲线Fig.4 The change curve of the ratio of x-component E field to y-component E field withy0

2.3 收发天线长度

由式(6)可知，当发射天线发射信号时，通过对整个接收天线长度E场积分可得到接收天线处的接收电压，因此接收天线的长度会影响接收电压的大小。图5为在不同发射天线长度(2lrx)时，接收电压随接收天线长度(2ltx)的变化情况。对于给定的发射天线长度，增加接收天线长度会增加接收电压。然而，当接收天线长度足够大时，增加速率减小并最终停止。对于电流场透地通信系统，收发器通常使用一根线天线进行发射和接收。同样，增加发射天线长度也可以增加接收电压，但是增加发射天线长度会受到所需发射天线电流难以维持的限制，因此在实际应用中往往通过增加接收天线长度来增加接收电压。

图5 不同发射天线长度时接收电压随接收天线长度变化曲线Fig.5 The voltage at receiver changes with receiver length (2lrx) for different transmitter length (2ltx)

2.4 工作频率

对于透地通信，应选择合适的工作频率，以便建立可靠的通信链路。图6为不同电导率下电场强度随工作频率的变化。由图6可知，在低电导率时，电场随工作频率增加而增加(σ<0.1 S/m)。而对于电导率较高(σ>0.1 S/m)的矿场，在其他参数不变的情况下，提高ELF或ULF范围内的工作频率并不一定会增加电场。当大地电导率较高时，最佳工作频率在100～500 Hz，随着电导率的增加，最佳工作频率逐渐减小。对于导电介质，由于趋肤深度变小，高频将导致高衰减。而对于自由空间或导电率非常低的介质，在其他条件不变的情况下，频率越高，信噪比越高。最佳峰值可能就是这种权衡的结果。

图6 不同电导率下水平电场(归一化)随工作频率变化曲线Fig.6 Horizontal E-field (normalized) varies withoperating frequency at different apparent conductivities

3 结论

建立了基于电流场透地通信系统的地下电场三维模型，分析了影响接收电压和电场强度分布的各种因素。

(1)当偏移量相对较小时，接收电压对偏移量不是很敏感；在相同偏移量下，随着同轴距离的增大，接收电压先减小后增大，且有一个接收电压的最小值。

(2)发射天线和接收天线的相对方位也会影响电场分布。偏移量较小时，接收电压随方位角的增大而减小；当偏移量较大时，E场的y分量占主导地位，接收电压随方位角的增大而增大。

(3)增加接收天线或发射天线的长度会增加接收电压。然而，当接收天线长度足够大时，增加速率减小，最终停止

(4)在低电导率时(σ<0.1 S/m)时，电场随工作频率增加而增大。而对于电导率较高(σ>0.1 S/m)的矿井，在ELF或ULF范围内增加工作频率并不一定会增加电场。当大地电导率较高时，最佳工作频率在100 ～ 500 Hz。