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基于HPM视角下的高中数学概念教学的研究*

2021-11-21万小燕

读与写 2021年1期
关键词:解析变量函数

万小燕

(江苏省苏州吴江汾湖高级中学 江苏 苏州 215000)

函数是高中数学课程的核心,高中人教版数学教材中帮助学生建立完整的函数概念,要求学生利用集合语言、对应关系去理解函数。但是从实际的教学情况而言,函数变量改变过于复杂,整体的学习效率低,如何高质量完成教学任务是目前教师要重点考虑的问题。对此,文章选择HPM视角来分析函数概念教学,希望让学生理解函数概念背后的人文精神,增强学习数学知识的自信心。

1.HPM视角下高中数学概念教学的作用

1.1 传播数学文化。如何体现数学的文化价值,需要教师基于HPM视角进行综合分析,例如在阐述数学建模的时候,将上世纪数学的发展和日常生活进行有效整合;讲述函数知识时与变量结合,从小学开始,每个人所接触的事物在变化,这是数学发展的一种体现形式。将函数和体检心电图进行对比,x为时间,y是生物电,将函数概念拓展到计算对象和性质层面,为学生日后的可持续学习奠定基础。所以HPM视角下的函数教学,学生在探索中形成正确思维,体会到数学和生活的联系,即便他们忘记了概念、公式,但是数学思想仍留存于他们心中。

1.2 完善函数知识结构。函数具有严密、抽象的特点,人教版数学教材所展现的函数例题大多经过加工、处理,对知识的发展并未做详细说明,函数知识一般以公式、定理的形式存在,学生对概念认知非常模糊。虽然人教版必修1的26页阅读材料中介绍函数的发展过程,但是数学基础薄弱的学生探索兴趣低,教师没有明确规定的情况下,学生不会认真阅读。对此,教师要转变思路,课堂上详细阐述函数的形成过程,以酝酿期、形成期到成熟期三个阶段为出发点,主动向学生介绍函数的发展,强化学生的认知结构,构建完善的函数知识学习框架。

2.基于HPM视角下高中数学概念教学策略

2.1 课前导入阶段呈现HPM视角。知识的形成和现实生活有非常密切的联系,为了让学生认识到函数概念的意义,教师在教学开始前主动解释函数在现实中的地位、价值,在HPM视角下回到历史,重视函数发展历程,为后续学习奠定思想基础。而在具体实践的过程中,教师从四个阶段来刻画函数概念的形成:

(1)解析式阶段。18世纪,数学家研究函数改变,将x的不同次幂作为x的函数,接着拓展到x的代数式,《无穷分析引论》中Euler以解析式来定义函数,让函数改变不再局限于代数式中。

(2)变量依赖阶段。18世纪中期对函数解析式改变的认知提出了争议,Euler也发现某些分段函数不符合这一规律,所以在“解析式”的基础上进行完善,《微分基础》中诞生了“函数变量依赖”的定义。

(3)变量对应。19世纪,Dirichlet将对函数概念有了重新定义,从“任意性”层面出发,认识到函数存在解析式和曲线,所以将函数作为任意变量的对应关系,并以“性状极怪”的实例加以说明。这一理念的提出,打破了大众对函数的刻板印象,它并非一个简单的解析式,也并非简单曲线。

(4)集合对应。19世纪集合论的存在,对函数又用了重新定义,假设E、F是两个集合,可以相同,也能不同,函数是由定给关系所决定的。基于以上的历史教学,选择函数概念发展的关键时期做综合阐述,从而让高中生对这一章节的知识有更为清楚的认知。

2.2 课堂教学设计渗透HPM视角。HPM视角下的函数概念教学,除了在课前融入数学历史外,还可以采用借鉴、重演的形式,帮助学生形成正确的数学观。对此,教师列出三个函数案例,让学生尝试着以第二阶段“变量依赖”的层面去分析:

(1)春季运动会女生100记录统计表;

(2)常值函数y=0(x∈R);

(3)Dirichlet提出的函数的特点为:x是有理数时,y=1,x是无理数时,y=0。

教师询问学生如何看待第三个问题,两个变量之间是否存在依赖关系,这三个案例就能发现是从“变量依赖”的角度去分析函数,但是不够具体和详细,同学们应该如何修改和完善。学生在讨论中总结答案,将“依赖”变为“对应”,整个过程中,如若有两个变量x与y,对x每个确定的值,y都有对应,所以x为自变量,y是x的函数。

2.3 课后训练阶段展现HPM视角。一堂课结束后,教师为了继续培养学生的探索兴趣,提出一些新颖的数学习题,巩固课上学过的知识,或者是对函数知识进行适当的延伸和拓展。如求证:f(x)=2x2-3是偶函数;又或者是分析y=1和y=10是同一函数吗?当学生在练习过程中重新回顾函数概念演变过程。从课后访谈情况而言,学生能准确区分初高中函数的不同点,而数学教师的分阶段教学,让学生更为深刻地感受函数概念的发展历程。

结束语

HPM视角下的数学史呈现多元发展的趋势,所以教师采用附加式教学法,顺利融入函数概念,引发学生的情感冲突,逐步探讨、分析的过程中构建完整的学习框架。需要注意的是,HPM视角下的教学理论,并非只适用于函数方面,也能应用到对数、概率等知识中,希望教师拥有丰富的数学素养,灵活运用,发挥出数学史的现实价值。

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