文化视角下高中数学教科书的比较研究——以人教A版和湘教版《数列》一章为例

文∣覃淋 喻晓婷 张静

《普通高中数学课程标准(2017年版)》凝练了学科核心素养，从课程性质、基本理念、课程目标、实施建议等方面对“数学文化”作了明确要求：强调将数学文化融入数学教学活动中，通过将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术和人类社会发展中所起的重要作用，引导学生认识和感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值……树立文化自信、提升学生的科学精神、应用意识和人文素养。在“教材编写建议”中，更是明确指出，“教科书应当把数学文化融入到学习内容中，可以适当介绍数学和科学研究的成果，开拓学生的数学视野，激发学习兴趣与好奇心，培养学生的科学精神。”

新旧课程标准都提倡将数学文化有效融入数学教学活动中。数学教科书是数学课程标准得以落实的重要承载体，为课堂教与学的活动提供了基本范例、思路和方法，是实现教学目标、发展学生数学核心素养的最基本的和最重要的途径。那么，高中数学教科书中数学文化的价值表现在哪些方面？数学文化材料的运用方式及水平如何？

本文选取人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书(A版)》和湖南教育出版社《普通高中课程标准实验教科书(必修)》中数列一章作为比较对象[2][3]。之所以选择数列作为研究对象，是因为数列是高中阶段的重要数学内容之一，具有非常重要的地位。数列是一种特殊的函数，它与函数、三角、不等式、数学归纳法、解析几何等知识有着密不可分的联系，具有很强的综合性，同时也是后续学习高等数学的基础。数列有着广泛的实际应用，是反映自然规律的基本的数学模型。从数学思想方法的角度看，本章的内容涉及了类比思想、归纳思想、数形结合思想、方程思想以及由特殊到一般的思想方法等，可以很好的培养学生的“四基”与“四能”。从培养学生数学学科核心素养的角度来看，数列一章的内容可以培养学生的数学抽象素养、数学建模素养、直观想象素养、演绎推理以及类比推理等数学核心素养。从数学史与数学文化的角度来看，数列(尤其是等差数列和等比数列)在历史上很早就出现了，巴比伦泥板和埃及纸草书都有许多等差、等比数列问题。在中国古代文物或文献中，等差、等比数列问题也有很多，比如春秋战国时代楚国的铜环权的重量就以等差或等比数列配置，《九章算术》中也有很多等差、等比数列问题，如《九章算术》中的“织布问题”。教师在教学过程中通过介绍历史上的数列的例子，可以很好地向学生渗透数学的文化价值。也就是说，数列一章的内容可以揭示数学的知识之谐(历史悠久，展现数学知识的发展历程)、呈现方法之美(古今方法对比，拓宽学生视野)、营造探究之乐(历史与现实结合，为学生提供探究机会)、达成能力之助(以史为媒，提升数学核心素养)、展示文化之魅(以数学史联系古今，渗透数学文化)、实现德育之效(呈现历史，搭建桥梁，联系数学与人文)等价值。

这里我们以《数列》一章为例，分析两套教科书中的数学文化内容以及运用水平，了解两套教科书中数学文化内容渗透的共性和差异，希望能为我国高中数学教科书的编写提供一些建议。

一、数学文化内涵的界定及其运用方式

(一)数学文化的内涵

数学文化涉及范围很广，至今无统一界定。可以说，凡是与数学有关的一切事物都可以归为数学文化的范畴。《普通高中数学课程标准(2017)》给出的定义是：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”

这里我们从课程论的角度来讨论数学文化。数学文化是指人类在数学活动所创造出来的物质产品和精神产品；其中，物质产品是指数学符号、数学命题、数学定理、数学公式、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分；精神产品是指数学的思想、数学精神、数学意识、数学观点、数学美和数学精神等，同时还包含数学史、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的联系等。

为方便量化处理，本文所指的数学文化包括：数学史、数学与生活、数学与人文艺术、数学与科学，但不涉及数学思想、数学方法等。为叙述方便，将数学与生活、数学与人文艺术、数学与科学等数学文化内容统称为其他数学文化。

(二) 数学文化的运用方式

1.教科书中数学史的运用方式

一般而言，教科书中数学史的呈现可分为显性和隐性两大类。如数学名著、数学家的故事、数学概念的起源与发展、数学符号的历史与发展、数学史上的纷争、数学史上的悲剧、历史数学名题、和数学有关的图画(如邮票、建筑等)及介绍数学知识的相关应用等，都属于显性数学史。显性呈现的史料主要是激发学习动机，开阔视野，展现数学背后的人文精神和文化价值。以隐性方式呈现的史料是根据实际教学内容，收集与教学内容相关的史料；然后按照数学史的选取原则进行筛选，对选择的史料进行裁剪、改编和重构，保留历史上数学知识、命题或概念发生发展的关键步骤，让学生在教师引导下再现数学家创造数学的过程，将数学知识“再创造”出来。

目前，教科书中数学史运用方式的分类还没有得到广泛认同的分类方式。且多数分类方法是针对在教学中运用数学史来分类的。本文采用汪晓勤教授建立的分析框架，具体描述见表1。按数学史与数学知识的关联程度，从低到高将教科书中数学史的运用方式分为点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式五类。显然，前两种方式独立于教学内容，主要用于激发学习兴趣，对学生理解数学知识或概念作用不大，但可以培养学生对数学积极的情感态度。实践表明，这两类史料与“情感、态度与价值观”之间有着密切联系，很好地体现了数学学科的德育功能。这五种方式在使用水平和运用难度上逐步上升，依次记为1、2、3、4、5五个层次。五种运用方式，没有优劣之分，都能在某种程度上体现数学史的教育价值、文化价值、应用价值及美学价值。具体运用哪一种方式来融入史料，需要根据课程标准中的教学目标以及具体教学内容来确定。

表1 教科书中运用数学史的五种方式及其作用

2. 其他数学文化内容的界定与运用方式

其他数学文化内容包括：数学与生活、数学与人文艺术、数学与科学三类，对于其它数学文化的详细描述见表2。

表2 数学与生活、人文艺术、科学的分类

根据数学文化与数学知识的关联程度，将其他数学文化的运用方式分为2类：附加型和顺应型，具体见表3。

表3 其他数学文化的运用方式

三、统计结果分析

按照上述对数学文化内容的分类，对两套教科书在数学史、数学与生活(简称生活)、数学与人文艺术(简称艺术)、数学与科学(简称科学)方面出现的次数与百分比进行统计，得到的结果如图1、图2。可能是研究对象的缘故，两套教科书中涉及人文艺术的数学文化内容都很少。

由图1知, 两套教科书在数学史、生活、艺术、科学四个方面的趋势大致相同,都呈斜“N”字型，两套教科书都是在数学史、艺术、科学三个方面的数学文化内容很少，而在数学与生活方面内容最多。这在图2中表现非常明显，这也说明在两套教科书中数学文化集中体现在现实生活方面。为更清楚的了解两套教科书在各个数学文化内容上的共性与差异，下面从每个维度进一步讨论。

图 1 两套教科书数学文化内容折线图

图2 两套教科书数学文化内容面积图

(一)在数学史方面的特点

两套教科书中涉及数学史料方面的内容都比较少，湘教版仅有3处，分别是斐波拉契数列与毕达哥拉斯学派的“形数”；人教A版有7处，主要包括：斐波拉契数列、谢尔宾斯基三角形、毕达哥拉斯学派的“形数”、高斯计算“1+2+3+…+100=？”的故事。

两套教科书中数学史的呈现方式以显性为主，运用方式以复制式和顺应式为主。教科书中数学史的运用并不是单一的方式，常常是复合的。也就是说，以多种方式来综合运用数学史。比如，人教A版中“等差数列的前n项和”一节，教科书首先以“旁白”的方式对数学王子高斯进行简单介绍，然后介绍了高斯计算“1+2+3+…+100=？”的方法，再将高斯的计算方法用于计算“1+2+3+…+n=？”.接着，以“探究”的形式提出问题：“高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般等差数列的前n项和吗？”在此基础上，利用高斯的思路推导出了等差数列的前n项和公式。这里，教科书中对数学史的运用采用了附加式、复制式、顺应式。首先是附加式，教科书对高斯的介绍采用的是附加式；其次是复制式，直接采用了高斯计算“1+2+3+…+100=？”的方法；最后是顺应式，对高斯的计算方法进行改编，最后推导出等差数列的前n项和公式。

湘教版在这一部分的处理上，和人教A版不同，引人的实例也不一样。湘教版所用的实例和中国古代数学家研究的“垛积”类问题类似，以学校举行运动会，学生的排队站列设置问题，如图3所示，各列所站人数分别为1、3、5、7、9、11，各列人数组成一个首项为1，公差为2的等差数列；再经过若干次变换后，得到一个新的等差数列：11、9、7、5、3、1。然后得到S6=1+3+5+7+9+11以及S6=11+9+7+5+3+1，将二者相加得到2S6=(1+11)+(3+9)+…+(11+1)，这样就可以求得S6。然后再把这种方法应用到一般的等差数列求和。这里两套教科书的思路是一样的，都是从特殊到一般。只是引入的例子不一样，人教A版是从数学史的角度引人，湘教版则是从学生熟悉的生活情境引入。两种处理方式，各有优点。但它们所蕴含的数学思想方法却是一样的。

图3

怎样的情境问题才是好的情境问题？情境问题应该是直观的、容易引起想象的数学问题，隐含在这些数学问题中的数学背景应该是学生熟悉的事物和具体情境，而且要与学生已经拥有的知识经验尤其是已有的数学知识经验相联系。按照这个标准，湘教版中设置的情境是一个好的情境问题。

两套教科书中，数学史运用方式的统计见表4，两套教科书中数学史的运用水平分别为3.14和3。

表4 两套教科书数学史运用方式的统计

(二)在其它数学文化方面的特点

由图1知，两套教科书在其他数学文化内容主要集中在生活、科学方面；在艺术方面，都仅有1处。

1.数学与生活

按照子类和运用方式分别进行统计，得到表5。两套教科书都有较多的数学文化内容与生活联系紧密，人教A版大于湘教版。按子类划分来看，在与学生个人生活相关的内容方面，二者数量上相差不大，比例方面湘教版大于人教A版。在公共生活方面，两套教科书涉及的内容比较丰富，涉及到运动、交通、储蓄、比赛、消费、职业等。

表5 两套教科书生活的水平分类

由表5可知，在“数学与生活”内容中，两套教科书大多是顺应型，即生活背景与数学知识不可分离。这说明了数列在生活中有比较广泛的应用。

2.数学与科学

统计表明，两套教科书在涉及科学的数学文化内容较多，仅次于生活。人教A版在科学方面涉及的数学文化内容为生命科学、环境、计算机、自然灾害、化学与工业生产等。湘教版在科学方面涉及的数学文化内容为生命科学、环境、农业、工业生产、化学等。

这充分地体现了新课程标准的理念，有效地培养学生的数学应用意识，体现了“数学来源于现实，存在于现实，并应用于现实。正如一位数学家所言，“当今世界不仅仅是科学在数学化，而且绝大多数实践活动也在数学化……我们的时代就是知识数学化的时代”。数学化的过程就是从一个具体的情境问题出发，从中提炼数学模型，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，再由数学概念、公式、法则的再发现到具体应用。可以说，学生学习数学的主要目的之一，就是学会数学化。

四、结论与启示

从数学文化内容在两套教科书中出现的范围、次数及运用水平来看，应该说两套教科书的编者都比较重视数学文化的渗透。但通过对教科书中文化材料的数量、运用方式以及运用水平的分析，发现它们与将数学文化和数学课程内容有机结合的目标还存在着差距。本文通过对两套高中数学教科书中的数学文化内容的比较分析，得出以下结论与启示。

(一)融入更多数学史，并注重史料与数学知识的有机融合

数学史的融入是数学文化的主要体现之一，两种教材涉及的数学史都比较少。在“等差数列前n项和”一节中，人教A版对数学史的处理方式很值得借鉴，由易到难，既注重引导学生思考，又注意体现教师的引导作用。但在故事呈现上，似乎可以更“饱满”一些。

将数学知识从“科学形态”转化为“教育形态”，降低材料的学习难度，这是数学史最重要的教育价值之一。在融入数学史时，可以考虑与情境问题相结合，注重对数学思想方法的渗透，充分发挥数学史的理解性功能和工具性功能，真正做到学生学习的是数学，而不是数学史，最终帮助学生更好地理解数学知识。

(二)以数学文化融入教科书来促进学生数学学科核心素养的发展

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。如前所述，“数列”一章的内容可以培养学生的数学抽象素养、数学建模素养、直观想象素养、演绎推理以及类比推理等数学核心素养。数学史具有“知识之谐”“方法之美”“探究之乐”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”等六类价值。同样地，数学文化也具有这几类价值。进一步，教科书在融入数学文化时，还可以考虑将数学文化与STEM教育、数学文化与技术相结合，来进一步促进学生数学学科核心素养的发展。