求数列前 n 项和的几种途径

俞洋琴

求數列前 n 项的和问题是各类数学试卷中的“常客”，是高考数学必考的内容之一.因此，熟练掌握一些求数列和的技巧是很有必要的.笔者总结了三种求数列的途径，供大家参考.

一、巧用公式法求和

一般来讲，运用公式法解答数列求和问题，需先找出数列的通项公式，或者明确数列的首项、公差、公比、项数，然后将其代入等差数列的前 n 项求和公式或等比数列的前 n 项求和公式求解，即可求出数列的和。

例1.

解：

该问题综合考查了等差、等比数列的通项公式、等差数列的性质、等比数列的前 n 项求和公式.在解答此类问题时，我们根据数列的通项公式、性质，求得数列的首项、公差、公比、项数，便可根据数列的前 n 项和公式求得问题的答案.

二、分组求和

有些数列是由几个等差、等比或常数数列组合而成的，对此我们需仔细观察数列中各项之间的规律，将其合理分成几组，使每一组为等差、等比或常数数列，分组进行求和.明确各组数列的通项公式、首项、公差、公比、项数，便可运用等差、等比数列的前 n 项和公式来求得数列前 n 项的和.

例2.

解：

列出数列的前 n 项和式后，就可以发现该数列是由1个等差数列和1个等比数列的和构成的，于是将数列分为2组，1组为等差数列，1组为等比数列，分别运用等差数列的前 n 项和公式以及错位相减法就可以求得两个数列的和，再综合所得的结果即可求出数列的前 n 项和.

三、裂项相消求和

对于含有分式的数列，我们常采用裂项相消的技巧来求和.先将数列的通项公式裂为两项之差的形式，然后将裂项后的各项相加，中间的某些项就可以相互抵消，化简剩下的项即可求得数列前 n 项的和.

例3.

解：

运用裂项相消的技巧求和的思路较为简单，但运算量较大，同学们要谨慎计算.

求数列前 n 项和的难度一般不大，解题的关键在于根据数列的各项或通项公式找出数列各项之间的规律，选择与之相应的途径来解题.

（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）