运用导数法解答函数单调性问题的步骤

何发科

对于简单的函数单调性问题，我们一般直接分析函数的解析式和图象，利用函数单调性的定义，便能快速求得问题的答案.对于较为复杂的函数单调性问题，如函数中含有高次式、指数式、对数式，我们常借助导数法来解题.而运用导数法来解答较为复杂的函数单调性问题，能将复杂问题简单化，提高解题的效率.

运用导数法解答函数单调性问题，一般有以下几个步骤：

1.根据已知条件，明确函数 y = f （x） 的定义域;

2.对函数 f （x） 求导，求出其导函数 y'= f'（x） ;

3.解不等式 f'（x） < 0 或 f'（x） > 0 . f'（x） < 0 的解集为函数的单调递减区间;f'（x） > 0 的解集为函数的单调递增区间;

4.根据函数的单调性建立关系式，求得问题的答案.

值得注意的是，运用导数法求解函数单调性问题，一定要先考虑函数的定义域，否则可能得到错解.

例 1 .

解：

该函数式为4次式，需采用导数法來求解，先对函数求导，然后讨论导函数与0之间的关系，根据导函数与函数单调性之间的关系，判定函数的单调区间及单调性.

例 2.

解：

该函数的解析式中含有参数.在运用导数法求解时，要先运用求根公式求出导函数的零点，再用零点将函数的定义域划分为三个区间段，分别讨论每个区间段上函数的单调性即可解题.

例 3.

解：

该函数式中含有对数式，我们需运用导数法来解题，先对函数求导，使在 （-1，+∞） 上 f'（x） ≤0，便可确保函数在区间在 （-1，+∞） 上单调递减.解不等式即可解题.

可见，导数法是解答复杂函数单调性问题的重要工具.在运用导数法解答函数单调性问题时，同学们要明确导函数与函数单调性之间的关系，运用导数法解答函数单调性问题的步骤，灵活运用导数来解题.

（作者单位：甘肃省陇南市宕昌县第一中学）