一道选择压轴题的多解与溯源

安徽省芜湖市第一中学(241000) 刘海涛 王 杰

《中国高考评价体系》指出:“高考要求学生能够触类旁通、融会贯通,既包括同一层面、横向的交互融合,也包括不同层面之间、纵向的融会贯通”[1]. 在教学过程中,对于一些典型问题,如果我们能够从不同角度思考,寻求不同的解法,以一题多解的方式寻求知识间的内在联系,构建知识的网络体系,加深对问题的本质认识,定会拓宽解题视野,发散解题思维,提升学习兴趣,提高解题能力[2]. 本文是笔者对一道高三调研题的研究,现与读者分享交流.

1 试题呈现与分析

题目已知定义在自然数集N 上的函数f(x) 满足f(x+1)=则f(0)+f(2021)的最大值为( ).

分析本题虽为小题,但综合性强、解法灵活,主要考查了函数的递推关系式,函数的周期性求值,二次函数的性质,均值不等式、构造函数求最值等知识,考查了学生分析问题、解决问题的能力,等价转化与化归的数学思想,构建函数的建模思想,构造图形的数形结合思想,体现了逻辑推理、数学运算等数学核心素养,总之本题内涵丰富,值得探究.

2 解法探究

方法1由题设可得[f(x+1)-]2=f(x)-f2(x),即[f(x+1)-]2,由此可得

评注此法是参考答案所给,解题思路是依据题设中所提供的条件信息“定义在自然数集N 上的函数f(x), 满足f(x+1) =对这个递推的等式运用演绎推理的思维模式,将其巧妙地转化为[f(x+2)-然后再借助题设推得f(x+2) =f(x), 从而求出f(0)+f(2021) =f(0)+明确目标是以f(0)∈[0,1] 变量的函数, 最后构造对应函数g(t) =t+借助导数求最大值, 使得问题顺利获解. 另外, 根据函数在闭区间内的有界性,在求出函数g(t)的极值点为t=后,可以利用求出最大值,省去单调性的讨论.

方法2由题设可得f2(x+1) =+f(x)-f2(x)+则f2(x+1)=f(x+1)+f(x)-f2(x)-即[f(x+1)-f2(x+1)]+[f(x)-f2(x)]=设h(x) =f(x)- f2(x), 有h(x+1) +h(x) =由此得h(x+2)+h(x+1)=则h(x)=h(x+2),所以h(0)+h(2021)=h(0)+h(1)=即f(0)-f2(0)+f(2021)-f2(2021)=即f(0)+f(2021)=f2(0)+f2(2021)+又f2(0) +f2(2021) ≥[f(0)+f(2021)]2(当且仅当f(0) =f(2021) =f(1), 即f(0) =时取等号), 所以f(0) +f(2021) ≥则f(0) +f(2021) ≤ 1 +故当f(0) =时f(0)+f(2021)取最大值为1+答案为B.

评注由题设得到[f(x+1)-f2(x+1)]+构造函数h(x) =f(x)-f2(x), 有h(x+1)+h(x) =研究函数h(x)的递推关系式得到其周期性,进而得到f(0)+f(2021)=f2(0)+f2(2021)+最后利用基本不等式求得最值.

方法3同法1,得到≤f(x) ≤1),且f(x+2) =f(x),则f(0)+f(2021) =f(0) +f(1), 注意到问题转化为点(f(0),f(1)) 为圆弧≤x,y≤ 1) 上的动点, 设f(0) =f(1) =则f(0) +f(2021) =即时(f(0)+f(2021))max= 1+故答案为B.

评注在法1 的基础上,注意到结合圆的标准方程结构, 不难想到该题的几何背景是在圆弧≤x,y≤ 1)上构造点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*), 由此得到函数列{f(n-1)}的递推关系式(f(n-1)-)2+研究发现{f(n-1)}是周期为2 的数列. 另外, 还可以利用≤即(f(0)+f(1)-1)2≤得到(f(0)+f(2021))max=1+

3 问题的本源探究

数学家波利亚曾说:“解题就像采蘑菇一样,当我们发现一个蘑菇时,它的周围可能有一个蘑菇圈.”[3]通过上述解法探究,不难发现该题是建立在圆弧上的点列问题,解答完本题后,笔者有如下探究:

探究1问题背景为圆弧≤x,y≤1)上的点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*),若将圆弧一般化,{f(n-1)}是否为周期数列?

分析若点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在圆弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a≤x,y≤a+r)上, 则 (f(n-1)-a)2+ (f(n)-a)2=r2, 得(f(n)-a)2+(f(n+1)-a)2=r2,则(f(n-1)-a)2=(f(n+1)-a)2, 又f(n-1) ≥a,f(n+1) ≥a, 则f(n-1) =f(n+1), 所以{f(n-1)}是周期为2 的数列.

图1

图2

如图3,圆弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a)也有上述的三个特征,于是有如下探究:

图3

探究2若点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*) 在圆弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a)上,{f(n-1)}是否为周期数列,若是,周期是否为2?

分析若点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*) 在圆弧(x-a)2+ (y-a)2=r2(a - r≤x,y≤a) 上, 则 (f(n-1)-a)2+ (f(n)-a)2=r2, 得(f(n)-a)2+(f(n+1)-a)2=r2,则(f(n-1)-a)2=(f(n+1)-a)2, 又f(n-1) ≤a,f(n+1) ≤a, 则f(n-1) =f(n+1), 所以{f(n-1)}是周期数列, 周期为2.

综上,得到如下结论:

命题1若点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*) 在圆弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a或a≤x,y≤a+r)上,{f(n-1)}是周期为2 的数列.

根据上述探究,再将圆弧推广到更一般的曲线,有如下探究:

探究3已知曲线C为关于直线y=x对称, 且曲线C上的点的横、纵坐标间满足一一对应的关系, 若点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在曲线C上,{f(n-1)}是否为周期数列,若是,周期是否为2?

分析若点(f(n-1),f(n))在曲线C上,由曲线C关于直线y=x对称,得点(f(n),f(n-1))也在曲线C上,又点(f(n),f(n+1))在曲线C上,由曲线C上的点的横、纵坐标间满足一一对应的关系,得f(n-1) =f(n+1),所以{f(n-1)}是周期数列,周期为2.

由此,得到如下结论:

命题2已知曲线C为关于直线y=x对称, 且曲线y=x上的点的横、纵坐标间满足一一对应的关系,若点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在曲线C上, 则{f(n-1)}是周期为2 的数列.

4 反思总结

4.1 多角度思考问题,寻求一题多解

在日常的解题教学中, 我们不能仅止步于问题的解决,而应该教会学生从不同的角度去分析问题,寻求不同的解法,通过一题多解发现知识间的内在联系,体会知识间的转化与化归,构建知识间的网络体系. 本题中,从不同角度去理解函数f(x)的递推关系式f(x+1)=采用不同的方式(构造方程、函数、图形)处理,得到以上不同解法,思维方式的不同带来解答形式的不同,给考生极大的思考与解答空间,在运算量和解答时间上出现差别,区分出不同层次的考生,具有很好的信度与区分度.

4.2 探究问题本源,以求多解归一

我们寻求一题多解,但不能满足于一题多解,对一些典型问题进行探究,探究出问题的本源,并做出一般化的推广,也反映出教师本身的业务能力与素养. 本题通过发现点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在圆弧≤x,y≤1), 想到将圆弧作一般化推广, 得到圆弧(x-a)2+ (y-a)2=r2(a≤x,y≤a+r), 结论依然成立, 注意到这两段圆弧的共同点后, 类比到圆弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a), 结论也依然成立, 于是得到命题1, 最后想到将圆弧推广到更一般的曲线, 探究发现只要曲线满足关于直线y=x对称, 且点的横、纵坐标间满足一一对应的关系, 结论依旧成立, 最终得到问题的本源, 在满足这一特点的曲线上构造点列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*),均可得到{f(n-1)}是周期为2 的数列.

作为一线教师,我们应该引导学生对题目进行深入探究(逆向探究、引申探究、类比探究等),发挥题目的最大价值,将问题拓展到一般化情况,让学生能“做一题,通一类”,避免题海战术,减轻学业负担,提高学习效率,实现“一题多解,多解归一”. 这样,我们在学习基础知识,掌握基本技能的同时,可以有效锻炼思维的深刻性、广阔性、灵活性和创新性,达到举一反三、融会贯通的解题水平和能力,提高自身的数学思想和数学核心素养[4].