初中数学趣味性问题的设计与实践

江苏省南通田家炳中学 杨 旭

趣味性问题是指基于学生的学习兴趣、学情、心理特点设计的问题，学生在学习问题时会产生强烈的学习欲望，愿意主动经历发现、探究、抽象、巩固、梳理、延伸的过程。现应用“相似三角形”的教学案例说明趣味性问题的设计与实践方法。

一、导入——提出问题

在导入环节，教师要应用一则典型的数学案例，让学生把抽象化的概念与具象化的体验结合起来，让学生回顾以往的知识，夯实学习基础，从而能够为开展后续的学习打好准备。在这一环节，教师不必给出具有很大难度的问题，而要确保问题的典型性。当学生能结合以往学过的知识找到问题的答案时，他们会产生成就感，这种成就感会让他们有信心进行后续的学习。

问题1：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并应用数学理论说明自己的依据。

图1

学生回答：在△AOD中，∠AOD=180 ° - ∠A- ∠D；在△BOC中， ∠BOC=180 ° - ∠B- ∠C。 应 用对顶角相等的性质可得∠AOD=∠BOC，那么可得180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，从而可得∠A+∠D=∠B+∠C。

【设计思路】应用典型的案例，帮助学生回顾了对顶角相等的性质、三角形内角和的知识，学生在解决问题过程中夯实了基础知识。

二、探究——交流问题

当学生理解一个数学问题以后，教师需要引导学生辨析问题，了解这个数学问题背后呈现的机理，形成数学理论。如果教师能够遵循学生的学情，让学生由浅入深地学习，提高学习自主性，那么学生就会感受到学习的乐趣。学生在学习时，受到知识视野、思维水平、实践能力的局限，有时会遇到学习挫折。为了帮助学生克服学习困难，教师需要引导学生应用合作学习的方法共同探究知识，以此让学生感受到交流的乐趣，并让学生在共同突破学习困境的过程中感受到探究知识的乐趣。

问题2：（1）图2 中有几对“对顶三角形”？（2）如果∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，请利用三角形对顶角的性质来计算∠P的度数；（3）假设∠D和∠B为任意角，其他条件不变，你认为∠P与∠D、∠B之间的关系是什么？

图2

【设计思路】让学生分工合作逐步完成这三个任务，在任务完成以后交流学习，交换知识。（1）不仅要求学生找到正确的答案，还要找到解题的方法，令学生意识到在复杂的几何图形中要找到正确的图形，可以将角、边等作为依据，避免重复找图，或者漏掉图形。该题需要学生具备发散思维和聚敛思维，在训练思维的过程中，学生能感受到思维提升的快乐。（2）结合问题（1）中获得的知识来解题，验证自己学习到的知识，产生学习成就感。（3）让学生结合几何图形的特殊性，与自己的直觉形成数感，然后验证自己的感觉，在探索、验证的过程中感受学习的乐趣。

三、建构——形成理论

当学生通过探索获得知识以后，需要形成知识体系。教师需要引导学生学习典型习题，结合具象化的案例来形成抽象理论知识，并在完成习题的过程中梳理知识，形成知识体系，这一体系就是学生需要掌握的理论知识。

问题3：（1）如图3，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？（2）如图4，如果已知∠B=50°，∠D=32°，∠BAM= ∠BAD，∠BCM= ∠BCD，请计算∠M。（3）如图5，设∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，请用含n、x、y的式子表示∠M的度数。（4）如图6，已知点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N，请计算∠ANC。（5）如图7，已知点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，∠DAE的平分线和∠DCF的平分线交于点P，请直接写出∠APC的度数。

图3

图4

图5

图6

图7

【设计思路】让学生通过完成这几道习题，全面回顾与相似三角形有关的知识。学生边完成这几道习题，边回忆相关的概念、理论，为梳理知识体系做好准备。

四、巩固——解决问题

学生是否掌握理论知识，要从学生知识转化的效果来验证。教师需要为学生设计习题，帮助学生验证知识结构。教师设计的习题要紧扣相关知识点，让学生了解自己是否掌握了知识点、是否了解知识点与知识点之间的联系。

问题4：如图8，O是△ABC内一点，且BO，CO分 别 平 分∠ABC， ∠ACB。（1）如果∠ABC=80°，并且∠ACB=60°，计算∠BOC。（2）如果∠A=40°，求∠BOC的度数。（3）如果∠A=α，请含α的代数式表示∠BOC。

图8

【设计思路】当学生完成知识体系的梳理以后，需要让学生应用理论解决问题，让学生验证知识体系是否存在缺陷。这三道习题紧扣概念和理论，（1）需要应用三角形的内角和定理求值，（2）（3）需要应用角平分线的定义和三角形的内角和定理求值。三道习题全面、系统地帮助学生验证知识结构。

五、延伸——深化问题

如果要让学生感受到数学知识的乐趣，就要让学生看到数学知识的变化。比如，学生需要看到，一个已知条件或者一个未知答案的变化，会让解题的过程发生哪些变化。这种让习题开放式的变化，能让学生的视野变得开阔，同时也要让学生看到普遍性问题和特殊性问题之间的变化，使学生看到抽象化理论应用于具象化问题中，可以发生哪些变化。

问题5：（1）如图9，如果BO，CO分别平分△ABC的两个外角，你认为∠BOC与∠ABC的关系是什么？（2）如图9，如果BO，CO分别平分△ABC的一个内角和一个外角，交于点O，你认为∠O与∠A之间是什么关系？

图9

【设计思路】这两道习题都是问题4 的变式。（1）考核学生的聚敛思维，如果学生具备类比和推理的思维，就能从解答问题4 中得到启示，应用问题4 中获得的理论来建构新的解题模型。于学困生而言，这是一道具有挑战性的问题。（2）考核学生的想象力，这一题对于学中生而言有一些难度，学优生也需要通过思考才能得到答案。学生可以通过发散联想，关联知识点来逐渐推理出问题的答案。学中生和学优生可以在解答（2）中享受到挑战难题的乐趣。

让学生完成趣味性的习题，可以起到让学生以完成习题作为目标，指引自己快乐学习的效果。如果要让习题具有趣味性，首先，就要明晰习题设计的目标，让学生每完成一道习题就能获得成就感；其次，要让知识深入探究的过程循序渐进地发生，使学生能够奠定好学习基础以后，做好后续的知识挑战；最后，习题要具有层次性，让每个层次的学生都能感受到完成习题的乐趣。