促进核心素养提升的微专题复习实践与感悟

吴小明

摘  要：“微专题”复习是以学生在高考中的某个热点、难点、易错点或数学解题思想的应用等作为主题来研讨，退回到该知识的“最原始”概念处复习的一种技法。通过三个具体的复习案例来展示“微专题”复习法的思维过程与建构方法。

关键词：专题;素养;思维;设计;实践

一、现状剖析

高三数学复习是对中学数学知识的重建构、再完善，是学生学习能力及核心素养再提升的过程。如果说一轮复习是高三复习的“形成期”，那么二轮复习是高三复习的“整合期”。这里的整合，既有各分支内部的整合（大单元复习），又有各分支之间的整合（微专题复习），这与高考的命题策略是完全一致的，这一阶段必须协调好专题训练与综合训练的关系，力求做到两者之间的有机结合。

随着高考二轮复习的不断深入，各地调研试题的新鲜出炉，综合训练频率的逐步增加，会导致学生备考心理失衡，出现焦虑不安、眼高手低、急于求成等现象，陷入常规题易做错、难题做不出的困境，数学成绩不升反降。课堂上学生出现兴趣不浓、参与率不高的现象，课堂教学效果大打折扣。

面对这种现状，在二轮复习中，有效地开展“微专题”复习教学研讨与实践，极大地调动了学生复习的积极性与主动性，提升了学生的基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验积累，对学生数学能力与核心素养的培养颇有成效，深受学生的喜爱。

二、专题建构

复习效果的好坏，关键因素是教师必须树立良好的课程意识，即教学中选择什么内容或材料作为复习的重点，其有效性和针对性更强;其次才是怎么教的问题。

“微专题”复习是以学生在高考中的某个热点、难点、易错点或数学解题思想的应用等作为主题来研讨，回到该知识的“最原始”概念处复习的一种技法。再依托新颖的材料、宽泛的背景，通过设计一条清晰的主线串起这些问题，以适合不同层次的学生参与课堂复习活动，让学生学会分析与联想、比较与选择等策略，在激活知识的同时提升学习能力与核心素养。

“微专题”复习建构方法可概括如图所示：

三、实践案例

（一）基于数学方法应用的“微专题”复习建构

方法能指引学生激活知识、解决数学问题。可以说不提炼一些固有的解题方法，学生学习及解题能力不可能得到质的升华。在教学实践中，教师应结合相关热点思维方法设计对应的“微专题”，对思维方法的来源进行剖析挖掘，对相近的方法进行比较综合，对基本的题型进行变式，有效地帮助学生形成必要的定势思维，即所谓的“通法”，提高学生的实战解题能力。

案例1.“三角形中的三角函数”的微专题复习设计片断

（1）知识激活，回归教材。

引例：如图，在△ABC中，∠B=45°，点D在BC边上，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为______________.

分析：在△ABC中，多了条AD线后，形成了多个三角形。此时我们需要在图中标出已知条件，寻找可解三角形。注意到△ACD三边都已知，这个三角形可解。再分析未知目标，需要求解AB长，尽可能地放在条件比较多的△ABC中，已知一边一对角，欲求另一边，只需另一对角即可。

反思：通过上述分析过程，反思可以直接解三角形的条件有哪些？回归到书本上解三角形的两大工具——正弦、余弦定理及其适用条件，强化定理的选择与优化，提升学生发展的逻辑推理素养。

（2）题组比较，方法提炼。

变题1：

在△ABC中，AD为BC边上的中线，且∠BAC=120°，BC=2  21 ，AD=3，则AC的长为_______________.

变题2：

在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4  3，AC=2   3，

∠BAD=30°则BC的长为________________.

分析：在引例的基础上，把AD线改为中线后，改变已知条件，使得没有哪一个三角形可以直接求解，加大了题目的难度。學生在图形中标出已知条件后，感觉随便哪个三角形都缺条件可解，也就下不了手。这时候我们需要在标注未知的条件时，寻找关联的条件并进行标注。如变题1，△ABC中已知一角及一对边，未知一条边，关联一角或一边使得△ABC可解;△ADC中已知两边未知第三边，关联任一角使得△ADC可解;△ADB中也已知两边未知第三边，关联任一角使得△ADB可解;综上，AB可以将三个三角形关联起来，这时候引进AB新变量，建立关于AB和AC的方程组，通过解方程组法可以将问题迎刃而解。

反思：通过上述分析过程，反思两个变题的联系及其处理方法的异同？可以发现：两个变题的处理方法完全一致，，都是列方程组法，且都是“知三求一”的过程，而区别仅在于已知量和未知量的位置交换。从特殊到一般再到特殊的逻辑思维，再次提升了学生的逻辑推理素养。再反思如何会想到引进新的变量建立方程组的想法？这是从无到有，由远及近的探究方法，从学生的最近发展区展开引导，归纳得到“通法”的同时，更重要的是实现了学生核心素养的提升。

（3）回归本质，素养升华。

反思：这两个变题的背景都是三角形的中线，研究的问题其本质是什么？

能不能有新的想法？教师引导学生探求问题的本质，在解题的过程中意外地收获了三角形中线长定理：三角形两边平方和的两倍等于它第三边的平方与第三边中线长平方的四倍之和，这与平面向量中的极化恒等式是一致的。如果预料到了这一点，还可以简化问题。这是教师引导学生的对数学抽象素养的发展，也是对学生逻辑素养的深度升华。

（二）基于教材问题变式的“微专题”复习建构

在复习中，师生往往过多关注题目，忽视了教材。教材应是高考的源头，更是复习必须回归的原点，在复习中，教师应在源于教材又高于教材的基础上，积极地“溯源登高”，既要重温教材，追踪其在知识结构、编排体系、问题设计等方面存在的痕迹，更要挖掘教材问题，探索命题发展的趋向，并透视教材的基础性，展现髙考的导向性。

（1）寻根溯源，挖掘“生长点”。

“微专题”复习应体现知识的整合和联系，探寻其本源，挖掘“生长点”，揭示所学知识的背景及内在规律。在复习中找到一条主线将一些散落的知识点按照内在逻辑将其系统地串联起来，达到知识的融会贯通。

案例2.“隐形圆”的“微专题”复习设计片断。

引例：在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D，若AB·CD=0，则点A的横坐标为___________

分析：由2018江苏数学高考12题引入，基础较好的学生会从“△ADC是一特殊的等腰直角三角形”下手，利用几何法分析得到AB直线方程，再联立已知直线l方程便可得到点A的横坐标;相对一般的学生也能通过代数法，联立圆C的方程和直线l方程，先得到D点的坐标，再利用向量垂直关系建立A点横坐标的方程进而得到A点的横坐标。

反思：两种解法的区别在于：前一种是探求A点运动的轨迹，既在已知直线l上又在直线AB上（核心）;后一种是探求D点运动的轨迹，既在直线l上又在圆C上（核心）;线线交点算法优于线圆交点。但究其本质，都是在探求动点的轨迹，而探寻“隐形圆”又是一个难点。

联想：

1.已知直线l：x-y+2=0 与x轴交于点A，点P在直线l上，圆C：（x-2）2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则P点的横坐标为____________.

2.已知点A（1，0），B（4，0），若直线x-y+m=0上存在点P，使得2PA=PB， 则实数m的取值范围为______________.

3.已知A（2，3），B（6，-3），点P在直线3x-4y+3=0上，若满足等式AP·BP+2λ=0的点P有两个，则实数λ的取值范圍是_____________.

4.已知圆C： x2+y2-4x=0及点A（-1，0） ， B（1，2） ， 圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？ 若存在，求出P点个数，若不存在，说明理由。

分析：通过探求动点的运动轨迹，归纳总结得到圆的一些隐含的说法，如：到定点的距离等于定值的隐形圆（定义圆）;到两定点距离之比为一定值的隐形圆（阿波罗尼斯圆）;与两定点的连线互相垂直的隐形圆（直径圆）;到两定点的距离平方和为定值的隐形圆等（平方圆）。将“隐形圆”巧现出来，形成对“圆”认识的一般抽象，而这其中的难点应在于抽象得到这样的“隐形圆”模式。

应用：在平面直角坐标系xoy中，已知A，B为圆C： （x+4）2+（x+4）2=16上两个动点，且AB=2 11 . 若直线l：y=2x上存在唯一的一个点P ， 使得PA+PB=OC，则实数a的值为_______________________.

分析：学生由前面获取的活动经验积累，取AB中点D，由CD=  5 将D点运动轨迹的“隐形圆（定义圆）”显现出来，进而得到P点的轨迹使得问题得以解决。学生运用知识原点，在由此及彼生成新知识的过程中，不仅锻炼了思维能力，还学会举一反三、触类旁通，能有效提升核心素养。

（2）凸显疑点，设计“问题串”。

针对学生的疑难点，有效帮助学生解决实际困惑。在复习教学时，可以依据教材借助学生的疑问创设问题情境，唤醒旧知识，引导学生主动建立复习目标，并采用变式训练、题组策略、问题串设计来编制微专题。通过设置“问题情境一问题串设计一真题检测”完成微专题复习。其中，问题情境必须提炼学生的问题所在，即提出一堂课的核心问题;问题串设计可以将学生的问题回到最简单、最本质的地方，通过变换问题背景，逐步深入问题的核心;最后的真题检测，是检验所学知识、方法的应用过程。

案例3.“函数的图像与性质”的“微专题”复习设计片断。

习题：设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则x>0时，f（x）=____________________

问题1：解决函数问题我们一般先考虑用什么方法？（图像）

问题2：思考上题，如何求解？（利用奇函数图像关于原点对称的性质）

问题3：利用“对称”解题很方便，有别的想法吗？（利用奇函数的定义）

问题4：抓住“定义”解题，也是种常规方法。回顾刚刚这个问题，与函数的什么性质有关？（奇函数的定义、对称性）

问题5：若已知函数是奇函数，我们经常会处理的题型？（f（0）=0）

问题6：也就是特殊值求法，比如怎么求f（1）？f（2）？

问题7：求出f（1），f（2）后，我们又可以用什么方法解决刚刚的习题？（二次函数：待定系数法）这样我们可以解决一类“已知函数类型求解析式”的问题。

问题8：有句成语说：“窥一斑见全貌”，图像对称又有什么一般特点？（由奇函数的性质知，图像上任意一点（x，y）关于原点对称的点（-x，-y）也在该图像上，同样可以解决刚刚的习题）这样我们又可以解决一类“轨迹”问题。

问题9：那么用什么方法最简单？（对称）

分析：用反思的方式、问问题的结构来推进教学：反思理解题意的过程，提高问题意识;反思数学知识的应用，完善知识结构;反思基本解题规律，掌握基本解题方法;反思一题多解，强化解题能力;反思解题方法的优劣，优化解题体系。

四、结语

“微专题”复习教学能有效地帮助学生更好地清除盲点、强化重点、突破难点、纠正易错点，课堂形式活泼多样，学生能积极思考、主动配合、层层深入，小组讨论高效有序，课堂充满生机与活力。“微专题”在知识整合和优化上具有得天独厚的优势，教师应系统地把握学情、考情、教材、考纲等，注重联系与发展，注重热点与难点，注重感悟与提炼，可引领学生进行高效的教与学，有助于学生深度参与、深度学习、深度反思。