指向数学素养的高质量智能学习成效测试

郑大明 赵洪艳

[摘 要]在学业测试题中设置讲述题，是落实指向数学素养的学习成效测试的一项关键措施。目的一，用数学眼光阅读数学教材，即引导教师关注教材、引导学生阅读教材、引导师生理解教材;目的二，用数学语言表达学习成果，即学会说明教材内容、学会说明数学知识、学会说明自己的想法。这样的测试，不仅关注学生掌握的基本知识与基本技能，而且关注学生对数学知识本质的理解、对数学认知结构的构建以及对数学知识与数学思维形成过程的数学化表达，都是指向学生数学思维素养的培育。

[关键词]数学素养;学业质量;教材阅读;语言表达;命题测试

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0011-04

教育评价具有导向、激励、调节和监督等功能，利用评价变革推进课堂变革的发生，已经成为国家助推课程改革的关键性举措。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“《标准》”）指出：教学评价要以数学学科核心素养的达成作为评价的基本要素。评价要关注学生数学知识技能的掌握，还要关注学生的学习态度、方法和习惯，更要关注学生数学学科素养水平的达成……数学学科核心素养是学生具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。

在小学阶段，学生的数学素养主要是指“两大能力”和“六个意识”，即抽象能力（包括数感、量感、形感）、运算能力以及符号意识、推理意识、模型意识、数据意识、应用意识和创新意识。

在进行以“三课四学”为基础的高质量智能学习研究中，我们把培养“人格力、学习力、创造力”作为育人的最高目标，把指向数学素养的学习测试，作为考查学生学习效果的关键性变革，把从2012年就开始研究与设计的 “讲述题” 题型置于学生数学素养培育和学业质量监测的重要位置：一是用数学眼光阅读数学教材，即引导教师关注教材、引导学生阅读教材、引导师生理解教材;二是用数学语言表达学习成果，即学会说明教材内容、学会说明数学知识、学会说明自己的想法。

一、测试阅读与表达素养：从关注“教书”到关注“读书”

不少教师上数学课都不喜欢指导学生阅读教材，只是在布置作业的时候才让学生找找练习题在第几页。直接原因就是，担心学生提前看了教材，预先知道了答案，那么教师只要一提问，学生马上就能说出结果，教师自然无法继续讲课。

针对这种情况，我们专门设置一种测试题，促使学生解读教材上的原题、原图，促使教师把自己“教望天书”改成让学生“读数学书”。一开始很多教师和家长都抵触这样的考查模式，他们认为：首先，教材上的内容那么多，复习时抓不准要考哪道例题或哪个图;其次，答案不唯一，如果学生乱说，教师就会打分评价困难。但经过一段时间后，大家发现这样的考查模式对学生的阅读能力、质疑能力和表达能力的提高很有帮助。

【样题1】讲述教材原图

例如“鸡的只数=鸭的只数×4”，画图为：        [ ][ ][鸡][鸭][鸭][鸭][鸭]

像上面的例子那样，写出两个量的等量关系后，再画出来。（画出正确的三个图即得满分）

1.设计意图

（1）引导学生用直观的方式说明图中蕴含的数量关系;

（2）了解教师平时是否让学生钻研教材中的插图;

（3）仿照给出的例子说明数量关系的方式，能避免学生乱说。

2.基本数据

[样本数据 应得分 实得均分 得分率 8262份 5分 3.92分 78% ]

3.典型案例与分析

第一类：明确理解题意，图式对应完整。

第二类：等量关系体现充分，图示情况多样。

第三类：图与式综合表达清楚，两个等量关系明确。

4.试题评析

本题考查的学生的数学素养，包含了《标准》里面提到的“三会”，学生既要用“数学眼光”读图，弄懂例题和插图的意思，又要用“数学思维”研究数量关系，还要用“数学语言”即符号、图示、文字等表达自己的认识和理解。同时，此题还能帮助学生通过几何直观和数学建模来对插图中的等量关系进行理解性说明。

当然，也有不少学生不明确题意，答题时弄成鸡、鸭的等量关系或者图示，或者自己另编一套等量关系。

二、测试运算与思维素养：从关注“外显”到关注“内涵”

过去，很多教师是把数学运算作为学生应该掌握的一项基本技能，将正确、迅速作为基本要求。最新修订的《标准》指出：運算能力的基本表现是能够明确运算的对象，理解算法与算理之间的关系;能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题;能够通过运算促进数学推理能力的发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。

因此，我们在考查学生对基本知识和基本技能的理解和掌握的程度时，把学生对数学运算的本质内涵、意义价值的深刻理解和灵活应用放在重要位置，把对学生推理意识和思维品质的考查作为重要测试目标，实现将“外显”的公共知识结构向“内隐”的个体认知结构转变。

【样题2】讲述对计算的理解

看图后想办法讲明白 0.3×0.2 为什么等于 0.06？积为什么会比两个乘数小？把你的想法写出来或画出来。（选自《龙泉驿区2016—2017学年度下期末六年级数学学业质量监测题》）

1.设计意图

（1）用不同的方式表示小数乘法的意义;

（2）解释小数乘积的意义;

（3）说明积与乘数之间的变化关系。

2.基本数据

[样本数据 应得分 实得均分 得分率 8407份 3分 1.73分 58% ]

3.典型案例与分析

学生基本正确的解答可以分为三类：

第一类：结合图示，从算式的意义方面来说明0.3 的十分之二（五分之一）是多少或 0.2 的十分之三是多少，或模糊地解释为“ 0.3 个 0.2或者0.2 个 0.3”。

第二类：结合图示，从算式的计算规律方面来说明一个不为0的数乘一个小于1的数（纯小数、真分数），积比这个乘数小。

第三类：单纯从算式的图示方面来说明，包括线段图、方格图。

4.试题评析

本题所考查的学生数学素养，表面上看，是运算能力中的对运算意义的理解，但实际上关注的是学生运用几何直观和模型意识表达数学理解，着眼于推理意识和思维品质的考查。在小学阶段，计算教学不能只着眼于会算与算对，更要重视学生的学习与思考过程。这样的测试既能引起教师重视数学理解与数学表达，又能帮助学生通过几何直观思维和数学建模类比来对算式的意义与算理进行理解性说明。

同时，学生要学会数学地表达，就要学会用文字、图形、符号等规范的数学语言来表达认知过程和思考过程，从本质上阐述自己对数学知识的理解。

虽然看起来测试题的得分率不高，学生不能运用类比推理来说明30×20、3×2、0.3×0.2之间的联系。这恰好说明很多数学基本知识、基本思想方法等没有真正落实，基本数学素养的培育不到位。这就为改进教学提供了真实的依据。

三、测试系统化与结构化素养：从关注“独立”到关注“联系”

“数学理解的发展意味着，学生头脑中建构更加丰富、更加具有整合性的知识结构，这种整合的知识结构使得学生的数学理解更富有生成性。”联系是数学理解的本质，是对知识的系统化与结构化理解的着眼点。学生需要在知识的关系脉络中把握相关知识的本质与内涵，找到知识之间内在逻辑关系和发展变化的规律，形成结构化认知。

数学教材通常是安排学生分单元、分小节地学习某些知识，有时为了突出“螺旋上升”编写原则，还故意把稍微大一些的单元拆分成几段来编写。这样难免出现肢解知识和碎片化学习的现象。因此，为了凸显《标准》修订意见中对数学知识教学的“整体性、层次性、系统性、一致性”的要求，我们在测试中做了如下尝试。

【样题3】讲述知识的内在联系

淘气说：在用竖式计算 123×45 时，用到了乘法分配律。你同意这个说法吗？请你结合这个竖式说说自己的想法。

1.设计意图

（1）考查学生对乘法分配律的理解;

（2）考查学生对三位数乘两位数竖式计算算理的理解;

（3）考查师生对知识、技能与数学规律之间内在联系的认识。

2.基本数据

3.典型案例与分析

从答题情况来看，该生从竖式计算的每一步的意义出发，清晰地解释用竖式计算123×45时，就是将45分为40和5，然后再分别乘123，也就是计算5个123与40个123的和。这一解读，符合乘法分配律的特征。可见，学生能把竖式每一步的意思与乘法分配律的结构、意义联结在一起，在数学深层知识内容的意义表征中，寻找知识之间的联系，不断丰富对竖式计算的本质意义以及乘法分配律的理解。

4.试题评析

本题考查的数学素养主要是运算能力。在教学乘法竖式计算时，教师应加强学生对意义和算理的理解，同时重视知识之间的整合与关联，沟通知识之间的联系，以结构化的视角审视知识之间的联系。

四、测试抽象与建模素养：从关注“结果”到关注“过程”

《标准》指出，评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程。设计讲述题时就要直面知识的产生与发展，关注学生的数学观察、思考与操作过程，考查学生观察事物的程序与方法，考查学生数学思维的方向和路径，引导教师在日常教学中重视学生的数学知识与数学思维品质的形成过程。

【样题4】讲述知识的发生过程

笑笑和淘气用透明的塑料片制作了两个无盖长方体的容器，并在里面放了一些小正方体（如下图）。说说笑笑和淘气做的长方体容器的容积各是多少毫升？

1.设计意图

（1）考查教师是否重视组织体验与操作活动;

（2）考查学生的空间观念、模型意识与推理意识;

（3）考查学生对容积意义的理解和计算建模的知觉程度。

2.基本数据

3.典型案例

笑笑做的长方体容器，是以1立方厘米的小正方体作为度量标准来度量长方体容器的容积。度量出容器的长、宽、高分别是8厘米、5厘米和3厘米，用乘法就可以知道容积是120立方厘米。因为1立方厘米就是1毫升，所以容器的容积是120毫升。

淘气做的长方体容器，是以8立方厘米的小正方体作为度量标准来度量长方体容器的容积。它的长是4个2厘米，宽是3个2厘米，高也是3个2厘米。先算出长、宽、高，就可以知道容器的容积是8×6×6=288（立方厘米）。因为1立方厘米就是1毫升，所以容器的容积是288毫升。

4.试题评析

学生在学习长方体的体积时，记住的往往是形式化、结论性的公式，而缺乏对公式的本质意义的理解。

长方体体积的度量意义，就是看长方体当中包含的体积单位的個数。长方体体积公式的本质就是基于体积的度量意义，它一方面表达了度量的结果，即长方体的体积就是长方体中包含的体积单位的个数（体积单位的个数=每行个数×每层行数×层数），另一方面体现了度量知识的发生过程，即每行个数与长方体的长、每层行数与长方体的宽、层数与长方体的高都存在着与度量标准物体的“边长”数的“一一对应”的关系。这样，长方体的体积等于“长×宽×高”才有依据。因此，本题将考查的焦点落在体积测量转化为长度测量的跃进过程，旨在沟通三维测量与一维测量之间的联系。两道题目的层次化的呈现，将学生用“边长1厘米”的立方体测量的经验迁移到用“边长2厘米”的立方体进行测量，测试后得分率的差异就十分明显。这能直接反映学生对长方体体积公式的度量本质认识的程度，考查了学生对公式形成的发展性理解，避免了学生对长方体容器的容积计算的公式化、机械化套用。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.01.

[2] 郑大明.我要做数学大人：3C知识形成漫谈[J].教育科学论坛，2014（12）.

[3] 王宜琴.小学数学课外拓展题设计“四要”[J].小学教学研究（教学版），2018（12）.

（责编 金 铃）