一类具有饱和传染率的垂直传染的肺结核病动力学分析

陶 龙

皖南医学院公共基础学院，安徽芜湖,241000

肺结核疾病的出现给人们健康生活造成了非常严重的伤害性，由于肺结核疾病具有一定的传染性，因此对于其传染规律以及治疗策略的研究是相当必要的。已有大量的数学模型用于研究肺结核动力学分析[1-5]。 肺结核的传染机理主要包括垂直传播[6-7]，接触传播和虫媒传播，其中对于母婴传播的垂直影响是相当重要的。李录录和孔丽丽主要考虑了一类具有常系数输入的垂直传染时滞模型[8]，本文在此基础上考虑具有饱和传染率的垂直传染肺结核模型。

1 模型的建立

考虑到系统中，随着被传染者的人数增加，并不会一直按照固定的常系数传染率进行传播，每一个患者传染的人数是有限的，此时我们使用饱和传染率会更贴近现实中疾病的传播。再结合预防接种、垂直传染等因素，依据文献[8]建立了如下新的肺结核模型：

(1)

2 平衡点的存在唯一性

本节主要讨论模型(1)平衡点的存在唯一性。出于实际的考虑，在讨论之前需证明模型满足初始条件的解是有界且为正的。

证明：由(1)可知

所以

两边同时对t进行积分得：

由(1)可知:

≤A-b1(S+I+R)

综上所述，模型的解(S(t)，I(t)，R(t))有界。

故模型的基本再生数为:

3 平衡点的稳定性分析

定理1若R0>1，则模型(1)的地方病平衡点E*(S*,I*,R*)全局稳定。

证明:构造Lyapunov函数[6]

V1(t)=|S-S*|+|I-I*|+|R-R*|。

易发现V1(t)≥0，当(S,I,R)≠0时，V1(t)>0；当且仅当(|S-S*|,|I-I*|,|R-R*|)=0时，V2(t)=0，即当(S,I,R)=(S*,I*,R*)时，V1(t)=0。

沿着系统(1)的解估计函数V1(t)的右上导数(即Dini导数)：

=Sgn(S-S*)[-b(I-I*)+qb(I-I*)

上式中，S与S*，I与I*，R与R*的大小组合共有8种，这里仅对S>S*，I>I*，R>R*此种情况进行讨论，其他分类有类似结论：

=-b1|S-S*|-b2|I-I*|-b3|R-R*|

取b=min{b1,b2,b3}，则

-b3|R-R*|≤-b(|S-S*|+|I-I*|

+|R-R*|)即

(2)

对(2)式两边从t0到t进行积分，可得：

由可行域Ω知，S，I，R有界，则其导数亦有界；从而函数V1(t)一致有界。 由LaSalle不变集原理可知，当R0<1时，模型(1)的解全局收敛于无病平衡点E0(S0,I0,R0)。

定理2若R0<1，则模型(1)的无病平衡点E0全局稳定。

证明:构造Lyapunov函数[10]

V2(t)=|S-S0|+|I-I0|+|R-R0|

易发现V2(t)≥0，当(S,I,R)≠0时，V2(t)>0；当且仅当(|S-S0|,I,R)=0时，V2(t)=0，即当(S,I,R)=(S0,0,0)时，V2(t)=0.

沿着系统(2)的解估计函数V2(t)的右上导数(即Dini导数)：

上式中，S与S0，I与I0，R与R0的大小组合共有8种，这里仅对S>S0，I>I0，R>R0此种情况进行讨论，其他分类有类似结论：

=-b1|S-S0|-b2|I-I0|-b3|R-R0|

取b=min{b1,b2,b3}，则

(3)

对(4)式两边从t0到t进行积分，可得：

由可行域Ω知，S，I，R有界，则其导数亦有界；从而函数V2(t)一致有界。由LaSalle不变集原理可知，当R0<1时，模型(2)的解全局收敛于无病平衡点E0(S0,I0,R0)。

4 数值模拟

下面将运用Matlab进行数值模拟，以验证理论推导的正确性。

情形1地方病平衡点的全局稳定性，选取参数为：A=0.8，β=0.2，b=0.2，b1=b2=b3=0.1，m=0.7，p=0.4，q=0.6，γ=0.8；此时模型的基本再生数R0=6.10>1，选取模型的初值为：(S(0),I(0),R(0))=(5,10,15)，则有图1。

图1 地方病平衡点的变化趋势图

情形2无病平衡点的全局稳定性，选取参数为：A=0.1，β=0.2，b=0.1，b1=b2=b3=0.3，m=0.7，p=0.4，q=0.6，γ=0.5；此时模型的基本再生数R0=0.058<1，选取模型的初值为：(S(0),I(0),R(0))=(5,5,5)，则有图2。

图2 无病平衡点的变化趋势图

5 结束语

本文建立了一类具有饱和传染率的垂直传染的肺结核病的动力学模型，发现病毒的传播主要依赖于基本再生数R0：当R0<1时，具有垂直传染的肺结核病毒会逐渐消失，趋于稳定；当R0>1时，具有垂直传染的肺结核病毒会一直存在形成地方病而趋于稳定。