时滞非线性复杂动态网络的自适应控制同步性研究

李 蕾

淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北，235000

复杂网络存在现实世界中，包括耦合递归神经网络、细胞神经网络、洛伦兹混沌振荡器、耦合蔡氏电路等。近年来，人们对复杂网络的研究越来越感兴趣，研究领域涉及通信、物理科学、数学、社会科学以及计算科学等[1-5]。

一般来说，复杂网络本身很难实现同步。因此，需要设计合适的控制器保证复杂网络的同步性。自适应控制作为一种有效的控制方法，越来越受到研究者的注意[6-10]。Wang讨论了一种具有耦合时变时滞的加权复杂动态网络的控制问题,与一般的线性反馈控制器相比，自适应控制器对非对称耦合矩阵、时变权值、时滞和噪声具有很强的鲁棒性[11]；Wen 基于拉萨尔不变性原理，得到了自适应全局同步准则[12]，分析结果表明，在所设计的自适应控制器的作用下，具有时滞和非时滞耦合的一般复杂动态网络能够全局渐近同步到给定的轨迹；Yao基于Lyapunov稳定性理论，推导了未知动态网络节点渐近同步到孤立节点的自适应控制律[13]； Li设计了一种基于模糊逻辑系统的自适应分布式控制器研究了具有非线性耦合和不确定性的复杂动态网络(CDN)的同步控制问题[14]； Liu利用不等式技术，构造适当的Lyapunov函数，分析了复杂动态网络的自适应控制同步性问题[15]。

同时在系统建模时，如果不考虑时变延迟或对时变延迟的描述不当，就有可能得到错误的分析结论。关于时变不延迟和时变延迟的复杂动态网络的同步已经得到了很好的讨论[15-18]。因此在已有文献关于同步性研究的基础之上，本文将各种不稳定因素与复杂动态网络结合起来，研究了基于时变时滞的非线性复杂网络的自适应同步性。

1 预备知识

本文将使用标准符号，I表示n阶单位矩阵。λmax(·)表示实对称矩阵的最大特征值。Rn表示n维欧几里得空间。Rn×n表示n×n的实矩阵。上标“T”表示转置。矩阵，如果没有明确说明，假定具有兼容的维数。‖x‖表示欧几里得范数，x∈Rn。

考虑如下N个节点的复杂动态网络模型：

(1)

其中,xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T∈Rn是第i个节点在t时刻的状态向量；f:Rn×Rn→Rn是光滑的连续函数；τ(t)为时间延迟满足0≤τ(t)≤τ，τ为正常数；c>0为耦合强度。Γ=(γij(t))N×N为拓扑结构的耦合矩阵；矩阵A=(aij)N×N表示复杂网络的外部耦合矩阵，其每个元素均非负，若aij≠0，表示节点i对节点j的动力学行为有影响矩阵A的对角元素满足耗散条件

φi(t)∈C([-τ,0],Rn)为初始状态。

定义2复杂动态网络与目标状态s(t)同步，如果满足

为了实现自适应同步目标，对系统做出以下假设并给出几个引理：

假设1对于网络系统，假设存在正的常数l1和l2满足

‖f(x,u)-f(y,v)‖≤l1‖x-y‖+l2‖u-v‖

引理1[18]对任意的向量x,y∈Rn，存在正定矩阵G∈Rn×n，有以下不等式成立

2xTy≤xTGx+yTG-1y

2 同步性判断依据

为了实现控制目标，对网络的节点运用自适应控制策略，则被控网络为

(2)

其中ui(t)=[ui1(t),ui2(t),…,uin(t)]T∈Rn为待设计的自适应控制器。

设计的控制器满足：

ui(t)=-Nci(t)(xi(t-τ(t))-s(t)),i=1,2,…,N,其中s(t)为目标状态，N为节点个数，反馈增益ci(t)满足：

定理1若假设1成立,且假设网络(2)是连通的，则在上述讨论的自适应控制器下的复杂动态网络(2)与目标状态s(t)是渐进同步的。

证明构造如下的Lyapunov函数

其中的m>0充分大。所以有

根据牛顿-莱布尼兹公式可知:

所以有

eiT(t)ei(t)=(ei(t-τ(t))

≤2eiT(t-τ(t))ei(t-τ(t))

≤2eiT(t-τ(t))ei(t-τ(t))

又因为

所以有

(4)

注1 当τ为0时，所研究的复杂网络模型为

注2 文献[15]通过引入耦合强度和反馈增益的分散自适应策略,研究了具有非线性时变时滞的复杂动态网络的自适应牵制同步问题。本文所讨论的非线性复杂网络的同步问题是在耦合强度保持不变且反馈增益有界时，通过使用李雅普诺夫方法、数学分析方法得到网络同步的充分条件。

3 数值例子

不失一般性，考虑含有50个节点的Lorenz系统

(0,0,0),(8.49,8.49,27),(-8.49,-8.49,27)

系统的混沌吸引子如图1。

图1 Lorenz系统的混沌吸引子

取目标状态(0,0,0)。讨论耦合强度、反馈增益以及节点比例对网络状态的影响

3.1 耦合强度对网络稳定性的影响

选择控制目标(0,0,0)，控制节点个数l=1以及反馈增益d=10固定不变经计算耦合强度的临界值为117.566 4为了讨论耦合强度对网络稳定性的影响情况，耦合强度c分别取为100，120，140，从而得到如下网络状态图2。

图2 l=1,d=10,c=100,120,140控制到目标状态

根据上述网络状态图可知在控制节点个数以及反馈增益固定时，耦合强度小于临界值117.566 4时，网络不能达到目标状态。当耦合强度大于临界值时，耦合强度越大，网络达到目标状态越快，所用时间越短。

3.2 反馈增益对网络稳定性的影响

选择控制目标(0,0,0)，控制节点个数l=10以及耦合强度c=100固定不变。不失一般性，取耦合强度为常数。为了讨论反馈增益对网络稳定性的影响情况，反馈增益分别取为1，5，10，从而得到如下网络状态图3。

图3 l=10,c=100,d=1,5,10控制到目标状态

根据上述网络状态图可知在控制节点个数以及耦合强度固定时，反馈增益越大，网络达到目标状态越快，所用时间越短。

3.3 节点比例对网络稳定性的影响

选择控制目标(0,0,0)，反馈增益d=10以及耦合强度cc=40固定不变。为了讨论控制节点个数对网络稳定性的影响情况，控制节点个数分别取为5,10,15，从而得到如下网络状态图4。

图4 l=10,c=40,d=5,10,15控制到目标状态

根据上述网络状态图可知在反馈增益以及反馈增益固定时，所控制节点比例越大，网络达到目标状态越快，所用时间越短。

综上所述，得到了保证非线性动态网络同步的标准。且所得的标准与节点比例、耦合强度以及控制增益密切相关。

4 结 论

本文研究了时滞非线性复杂动态网络的自适应同步性问题。基于李雅普诺夫稳定性理论以及自适应控制控制方法，得出了同步的一些充分条件。且由充分条件可知非线性复杂动态网络达到目标状态的时间由耦合强度、控制节点比例以及反馈增益决定。