让“自主探索”成为学习活动的基本学习方式和路径

钟卫明　易良斌

摘要：数学探究课，要让学生的自主探究成为教学活动的基本学习方式和路径。以“边边角能确定三角形吗？”课例出发，在数学探究课中，根据学情步步深入追问，引领探索方向;从特殊到一般的研究方法入手，掌握探究方法，挖掘探索深度;引导学生制定策略，借助类比探究，拓宽探索广度;从发现问题到提出猜想，再到理论证明，完善探索路径。

关键词：自主探索;边边角方式;路径

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”它强调学生的创新意识是在主动探索知识的过程中得到培养的，学生的实践能力是在运用知识解决问题的实践活动中得到发展的，课堂教学应该是培养学生创新意识和实践能力的主阵地。因此，进行初中数学探究性学习的课堂教学实践，寻找与时代发展相适应的教与学的方式势在必行。

我们在设计课堂教学活动的时候，特别是数学探究课，必须让学生的自主探索成为教学活动的基本学习方式，引导学生通过观察发现问题，激发思维冲突，进而提出问题，自主探索，独立思考解决问题。学生在问题解决的过程当中，体会其中所蕴含的数学原理数学思想，形成数学思维方式。笔者现以课例“边边角能确定三角形吗？”的实践为例，浅谈自己的理解与思考。

一、学习设计与教学实录

（一）新课引入，引发探究

师：请同学们用有刻度的三角板作一个△ABC，使∠A=30°，AB=4cm，AC=4cm.

追问：每一个同学画出来的三角形形状大小一样吗？为什么？

生：找出任意两个三角形可以用两组边对应相等，以及这两边的夹角相等证明这两个三角形全等。全等三角形可以完全重合，即形状大小一样。

师：在本题条件下，画出的三角形形状大小完全相同，都是全等的，简单地说这个三角形被唯一确定了，那还有其他边角条件下，可以唯一确定三角形吗？

生：已知三条边，已知两个角和其中一条边。

师在黑板上板书：“SSS，AAS，ASA。Q1：如果把AC=4 cm改成BC=4 cm，△ABC还可以唯一确定吗？请用三角板和圆规进行探索。”

学生使用三角板和圆规进行探究。

师追问1：你是怎么画出来的？

生：先画∠A=30°，再画AB=4 cm，接着以B为圆心，以3 cm为半径画弧，找∠A的另一条边与弧的交点。

师：如果把AC=4 cm改成BC=3 cm，△ABC还可以唯一确定吗？请用三角板和圆规进行探索。

（2分钟过后）师：你画出来几个？

生：△ABC不唯一确定。可以画出两个三角形ABC。

师：你发现了什么？（指标题）看来我们已经解决了这个问题了。同时我们还解决了SSA不可以来判定两个三角形全等。有时可以唯一确定，有时不能唯一确定，那“边边角”何时能唯一确定呢？这才是我们今天要来解决的问题。

【设计思考】通过学生自己动手操作，他们明白了：两边以及它们的夹角相等的情况下，三角形可以唯一确定，进一步感受全等三角形和三角形唯一确定之间的联系。通过改变其中一条边变成对边，我们通过特殊的实例（AB=4 cm，BC=4 cm，∠A=30°）得到了有时唯一确定，而有时（AB=4 cm，BC=3 cm，∠A=30°）不能唯一确定，可以画出两个三角形，从而通过这一矛盾点激发学生的学习兴趣，进而引出课题。通过AB=4 cm，BC=3 cm，∠A=30°，能画出2个三角形，这已经证明了这个课题的不正确。教师接着将课题进一步明确为探究边边角何时能够唯一确定三角形。

（二）制定策略，自主探究

师：你觉得C点能不能唯一确定与什么有关呢？

生：BC的长度。

师：是不是BC=4 cm时才能唯一确定呢？大家来看下面这个问题：△ABC中AB=4 cm，∠A=30°;当BC的长度改变时，请借助尺规，尝试探究BC长度与三角形个数的关系，并总结研究成果在表格里。

师：你是怎么研究的？

生：先画∠A=30°，再画AB=4 cm，接着以B为圆心，以BC为半径画弧，找∠A的另一条边与弧的交点。改变BC的长度重新画弧，找交点的个数。

【设计思考】借助学生自主学习的选择性探究，引导学生从边的大小出发，通过改变BC的长度，探索BC与∠A的另一边的交点的个数，来确定三角形的个数。

（三）有序分类，深度探究

师：当BC=3.5 cm时，能画出几个三角形？BC=3.8 cm呢？你发现了什么？

生：在一段范围内能画出两个三角形。

师：是哪一段范围呢？

生：2

师：那小于2的情况呢？大于4的情况呢？我们该如何讨论才能做到不遗漏呢？

生：我们可以从小到大有序地進行分类。

师：很好，我们有序地再次对表格进行整理。

【设计思考】当BC=2 cm的时候，通过画图，学生会发现有1个或者2个交点的情况。圆跟直线的位置关系和三角函数还没有学习，这里不进行证明。

学生通过自主探究，通常他们的思维是无序的。教师不是课堂的主体，但是是课堂的引领者，可通过有效的一组追问，引导学生从无序的长度到一段范围进行探究。在确定这段范围的过程当中，学生找到了两个临界点，分别是垂线段和BC等于AB的时候，进而将无序的思考引导到有序思考上。从小到大进行讨论可以做到分类讨论不遗漏，同时分类讨论的标准是找临界点，从而确定每一段分类讨论的范围，掌握分类讨论思想。

师：△ABC中AB=c，∠A=∠α.（0<α< 90°）.当BC的长度改变时，借助尺规，尝试探究BC长度与三角形个数的关系，并总结研究成果。

学生上台展示研究成果。

师：刚刚我们是动手实践发现当BC>BA时可以唯一确定三角形，大家能否尝试证明一下这个结论？

整理后的题目表述为：“已知：在△ABC中，AB=AB，BC=BC，∠A=∠A（∠A是锐角），且BC>AB，求证：△ABC与△ABC全等。”

学生证明如下：

【设计思考】原来讨论的∠A=30°，将它推广到一般化的锐角三角形。有了前面的探索，学生运用有序思考进一步探索，将数学问题符号化、抽象化。同时，老师还可以借助几何画板的动态演示，将结果更清晰地展示给学生，让学生能够明确每一种情况下的构图。经历从猜想、实验到证明的过程是学习数学的一种基本学习方式，帮助学生形成缜密的逻辑思维、完善的数学思考、严格的数学表达。

（四）类比探索，完善探究

师：下面我们类比锐角探究的情况，再来探究一下直角和钝角的情况。请看题目。△ABC中AB=c，∠A=∠α（α是直角或钝角）。当BC的长度改变时，借助尺规，尝试探究BC长度与三角形个数的关系，并总结研究成果。

学生上台展示研究成果。

生1：α是直角。

（五）归纳总结，形成认知

师：我们已经把三类角探究完了，你能不能归纳一下什么时候“两边及其一边的对角”条件确定的时候，三角形可以唯一确定？

生：当这个角是直角或者钝角的时候，可以唯一确定三角形。

师：刚才同学是从角的角度去概括的，那我们能不能从边的长度来进行概括呢？

生：当BC>BD时可以唯一确定三角形。

师：本节课，我们将课题聚焦在“边边角何时能唯一确定三角形？”。为了研究这个课题，我们制定了定邻边和一个角，讨论第三边的研究策略，从特殊的锐角入手，有序分类讨论了第三边对于三角形个数的影响，推广得到了一般化的结论，进而类比探究了直角和钝角的情况，归纳出了“边边角”能唯一确定三角形时的条件。本节课还给了我们一个关于判定全等三角形的条件的新视角——三角形能否唯一确定。

二、实践思考与教学启示

（一）根据学情追问，引领探索方向

一堂高效的数学课，数学问题要少，教师要通过学生的课堂生成及时地提供有效的追问，帮助学生理清思路。探究课是学生不熟悉的课型，看到课题时他们常常感到无从下手。本节课的第一个难点是启发学生从哪些方向去进行探究。比如在第一环节，教师应让学生体会到三角形唯一性的研究和三角形全等研究之间的内在一致性，从全等三角形的研究转化到三角形唯一性的研究上，进而思考三个要素对于课题的影响。

有了探究的方向，学生可能不知道该怎么探究，所以要帮助学生找到探究的方法和步骤。探究的思路要适合于学生的知识生成。比如，本节课如果将探究思路放开，有三个要素的变量，对于学生来说难度巨大。通过教师的引导，学生将目标聚焦于BC的长度对于三角形唯一确定的影响，找到研究的基本点。在学生探究BC长度对三角形构成影响的时候，学生的探究是杂乱的。教师通过追问的方式，引导学生从无序的思考到有序的思考。每一次的追问都应该是层层递进、步步深入的，目的都在于将学生的思路聚焦于本节课的研究方向，制定好研究的策略。

（二）从特殊到一般，挖掘探索深度

研究一个几何问题的基本方法是从特殊到一般。对于一个一般化的问题，学生通常无法下手。从特殊的图形入手，学生可以在特殊的图形下找到研究的一般方法。比如本节课中让学生从特殊的30°角入手，再推广到任意角度、一般锐角的研究和30°角的方法一样，帮助学生将探究往更深层次进行延伸。

（三）定策略善类比，拓宽探索广度

引入环节在两边以及一边的对角的条件下，改变要素的大小，有时可以唯一确定三角形，有时不确定，这说明△ABC能不能唯一确定和三个要素的大小直接相关。但是要考虑三個要素的变化，情况过于复杂。我们可以引导学生先定两个要素再来讨论第三个要素，控制变量来探究每个要素的影响。首先引导学生将目标聚焦在BC的长度，在确定邻边和角的情况下进行探究。该探究还帮助学生掌握了研究方法，为后面的类比直角、钝角进行独立探究奠定基础。制定策略的过程是本节课的重点，帮助学生理清思路，明确探究方法，保证了课堂有序进行。

（四）从猜想到证明，完善探索路径

从猜想到实验，证明是探索数学问题的一般路径。本节课从一个矛盾的激发点，激起学生探究的兴趣，创设数学思考的氛围。在学生自主探究的过程当中，学生从用数学的眼光去观察问题，进而提出问题：边边角何时能够唯一确定三角形呢？学生通过观察特例，猜想发现是BC长度的变化和三角形的唯一确定之间有联系，将课堂转化到自主探究的主阵地。探究的过程中，学生通过自我思考、小组合作获得对于数学知识的理解、数学原理的探求、数学真理的渴望。

证明的过程，学生要用严格的逻辑语言进行表达，也就是用数学的语言表达问题。学生知其然，知其所以然，何由以知其所以然。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]徐章韬，梅全雄.论基于课堂教学的数学探究性学习[J].数学教育学报，2013（22）.

（责任编辑：奚春皓）