重组知识结构 设计学习序列——《分数、小数的初步认识》整合实践与反思

文|邵 虹（特级教师） 管淑芬

学生在数学学习中，存在两种结构。一种是数学知识内在联系所构成的知识结构；另一种是学生头脑中逐渐形成的认知结构。新知识只有与学生的原有知识建立联系，产生了相互作用后，才能帮助学生更好地理解新知识。基于以上观点，浙教版《数学》三年级下册第四单元《丰收的果园——分数、小数的初步认识》，改变了原来的教材结构体系，着眼于数学知识的逻辑顺序与学生认知发展顺序之间的关系，对数学内部结构进行调整与重组，构建利于教与学的新序列。

一、单元教材解读

分数是小学数学中的重要的数概念，而小数是一种特殊的分数，是十进制记数向相反方向延伸的结果，学生生活中小数的经验要比分数多。

1.知识序列分析。

教材的知识结构影响着知识展开的方式，从结构的视角去改变知识的分割状态，让学生在知识的有机联系中学习。浙教版《数学》将分数与小数的认识穿插安排：三年级下册，借助数形结合初步认识分数和小数，进行直观运算；四年级下册，从最初直观的“份数”定义过渡到“商”的定义，并把分数分为真分数、假分数与带分数；五年级上册，通过十进分数理解小数的意义，掌握小数的计数单位和小数的数位顺序；五年级下册，理解分数的意义和分数的等值性质，以“位值制”为基本线索更清晰地揭示出分数、小数的本质意义。而分数、小数的运算，实质上都属于相同计数单位个数的整数运算。（见图1）

图1 分数与小数知识体系思维导图

2.单元内容分析。

《丰收的果园》是浙教版三年级下册第四单元的教学内容，根据数学本质和学生认知规律，对单元内容和课时安排的顺序进行重组。

图2《丰收的果园》单元目录

教材将分数、小数的初步认识安排在同一个单元，它们是学生接触的数域第一次突破了整数的范围，同时整数的认识、计算方法都能够有效地迁移到分数和小数中。教材利用学生已有的生活经验和数学基础，从几分之一到几分之几，突出对分数单位的认识。借助数形结合、折纸和涂色等活动，直观地认识和的关系，进行同分母分数的简单运算。创设真实情境引导学生感知从单位“1”的均分到整体“1”的均分。引用“归一”的思路求一个数的几分之几是多少的内容，加深对分数的认识，为学习分数乘法奠定基础。小数的初步认识强调计数单位的意义，结合情境教学小数的大小比较与简单计算，同样与整数的知识作了沟通，真正使知识网络化、系统化。

二、学情诊断数据分析

1.前测试卷设计。

为更精准地了解学生的学习基础，我们设计了（三年级下册《丰收的果园》单元前测卷）对学生进行了前测。试卷旨在测试学生对分数的意义、分数的简单计算、分数的应用、小数的意义等知识的了解情况。

图3《丰收的果园》单元前测卷

2.测试结果统计与分析。

杭州市某小学三年级132 名学生参与了前测，以课堂作业的形式让学生在15 分钟内独立完成，教师不作任何干预。测试后各小题的正确率如下：

（1）分数的初步认识。

题目1 作答人数统计分析：

人数百分比举例4836.4%画图4433.3%文字3224.2%没听说过86.1%

从表中看出，93.9%的学生听过分数，能用举例、画图、文字来表示。其中，举例说明的学生人数较多，比如“就是一个苹果的一半”“5 角就是1 元的”。33.3%的学生采用画图说明，图示以“将圆平均分成若干份表示其中一份”为主。24.2%的学生选用文字表示，提到了分数的读法和写法，也有个别学生把二分之一写成“”。综上，学生对分数的认识不是一张白纸，但是缺乏对分数意义的理解。后继教学应更多地采取动手操作、实物演示、图形直观等教学方式。

题目2 正确人数统计分析：

人数百分比1 2 个5642.4%0.5 个43%一半64.5%4332.6%图示其他错误答案2317.4%画图images/BZ_15_1219_3039_1440_3132.png

（2）看图写分数。

正确人数统计分析：

题1题2人数百分比典型错例人数百分比典型错例128 97%52 39.4%images/BZ_15_1807_1198_1877_1306.pngimages/BZ_15_2100_1217_2227_1294.png

从表中看出，第1 题在直观图示帮助下，97%的学生能正确写出“几分之一”，个别学生出现错误的主要原因是对整体1 的感知不够。相比几分之一，学生正确写出“几分之几”的人数比较低。后继教学，要重视结合具体实物，揭示部分与整体之间的关系。

（3）分数的计算。

正确人数统计分析：

题1.1题1.2题2.1人数百分比人数百分比人数百分比95 72% 89 67.4% 46 34.8%典型错例题2.2人数43百分比32.6%images/BZ_15_1600_2417_1735_2501.pngimages/BZ_15_1773_2416_1907_2503.pngimages/BZ_15_1934_2420_2073_2492.pngimages/BZ_15_2093_2418_2255_2495.png

从表中看出，近70%的学生能够进行简单分数加减法运算，近30%的学生尝试进行分数与整数乘法运算。但实质上学生并非都是理解分数意义后进行运算，所以在后继教学中要重视分数的意义和乘法的意义教学。

（4）小数的认识。

题目1 正确人数统计分析：

题1人数百分比典型错例9168.9%题2人数百分比典型错例8161.4%images/BZ_16_484_513_793_567.pngimages/BZ_16_493_726_798_780.png

从表中看出，60%的学生能正确理解分数与元、角、分之间的关系，可见学生已经有购买物品的实际经验，对于货币中的小数积累经验比较丰富。建议在“小数的初步认识”时，充分利用“人民币制”模型展开教学，而在综合应用中要引入“米制”模型加深小数意义的理解。

题目2 正确人数统计分析：

空格1人数百分比典型错例6146.2%空格2人数百分比典型错例5138.6%images/BZ_16_494_1714_789_1772.pngimages/BZ_16_484_1937_795_1989.png

从表中看出，学生对整数、分数与小数之间的知识迁移稍有难度。在小数的认识过程中，有必要让学生沟通小数与分数和整数的联系，并且充分经历计数单位的产生以及计数单位的累加过程。

三、单元教材整合重构

1.单元目标定位。

基于以上学情，本单元内容主要涉及两方面：（1）数的认识；（2）数的运算。数概念的教学，从用熟悉的自然数表示事物的量引入，当自然数不能表示数量时，需要一种新的数，感知分数、小数产生的实际意义。分数的初步认识首先着眼于具体“量”的理解，再引出分数的“率”的含义，能正确把握分率和对应量之间的关系。在数的运算中，主要有加、减、乘这三种运算，借助直观图示，通过计数单位以及计数单位的个数进行联通。最后是问题解决，用归一问题的方法解决“求一个数的几分之几是多少”的分数应用问题。所以我们发现本单元的立足点其实就是：理解分数与小数的含义，凸显计数单位的价值。

2.单元课时整合。

综上，在实际教学中对目前的教材编排结构作适度调整。（见文末表1）

（1）认识几分之一：从一块地的一半、一个西瓜的一半、一个图形的一半引出，初步感知一块地的与一个图形的实际意义是不同的，但又是等价分数。掌握几分之一的读法和写法，初步理解分数单位的意义。在认识的基础上，通过折纸操作进一步认识其他单位分数。同时借助直观图示，让学生感受“分数是一个数”，它与整数一样可以比较大小和进行四则计算。比如，2 个合起来是；把平均分成2 份，每份是；将进一步均分，可以得到2 个等等。

（2）认识几分之几：首先借助对一个图形的分析与观察，引导学生认识几分之几。从单个“1”的平均分到整体“1”的平均分，引导学生从一个物体表示单位“1”过渡到用单位“1”表示整体，逐步扩展对单位“1”的认识。

（3）分数加法与乘法：沟通同分母分数加减法与整数加减法的关联，突出相同计数单位直接相加的本质，理解分数的运算算理。

“简单分数运算”教学，改变了以往指令式教学，以引导学生自主探究作为教学的根本出发点，充分利用“树形图”这一数学材料展开数学思维教学，构建数学模型，设计了具有较大探究空间的教学活动——如：“说一说，填一填。”怎样计算同分母分数加法？它的运算方法是怎样的？……这些内容教师都不越俎代庖，留给学生自主探究，自主思考的时间和空间。

（4）分数大小比较与减法：引导学生抓住分数单位的个数来理解探究大小的比较，通过三个分数之间的关系，比较加减法，揭示“分数单位”个数参与运算的本质。

（5）应用问题：用整数的方法——“归一思路”求一个数的几分之几是多少，一方面巩固分数意义的理解，另一方面为后继学习做准备。

（6）分数拓展课：通过直观演示，从最初的“把一个物体平均分成若干份，表示这样1 份”的“份数”定义过渡到“一个数除以另一个数”用“商”定义的过程，渗透分数与除法之间的关系。拓展将多个物体看作一个整体，用“1”表示，在平均分的过程中进一步感知部分与整体的关系；在已知分率关系取相应图形个数的开放题中，理解单位“1”的真实意义。

（8）认识小数（二）：通过真实问题的解决，掌握小数比较大小的方法，进行一位小数的加、减法。借助几何直观模型，对比1 与0.1、0.01、0.001 之间的关系，沟通整数、小数与分数的联系，经历计数单位的产生过程。

附：表1 单元教材结构对比表