数学思维可视化：促进深度学习真实发生

文|钱学翠

数学思维具有独特的内隐性与抽象性，常常以概念、公式等抽象的形式出现，这对于抽象思维能力较弱的小学生而言，存在一定的认知难度，导致其难以进入深度学习状态。正是基于此，思维可视化便进入了我们的视野。本文将重点围绕思维可视化之“为何”与“何为”展开探究，促进数学深度学习真实发生。

一、思维可视化之“为何”

在弄清思维可视化到底“为何”之前，我们有必要先弄清其内涵。顾名思义，思维可视化就是通过直观形象的手段，将抽象的、不易直接发现的思维展示在人们眼前。就数学学科而言，可视化就是将那些隐藏的思维过程，通过可见的图示或实物等形式展现出来的过程。那数学深度学习的内涵又是什么呢？南京师范大学教授吴永军指出：“深度学习是一种整体的学习状态，是学习者全身心投入的过程，既是一个大脑内部信息加工的过程，也是一个充满情感、意志、精神、兴趣的全面参与的过程。”可见，数学深度学习也必然是学生积极投入，并沉浸于对知识的理解与运用迁移的过程之中的学习方式。这两者虽然看似两个概念，但如果我们从心理、智力、效能这三个维度进行对比分析，就不难发现其存在的关联性。（见表1）

表1

效能维度更有利于学生在理解知识的基础上进行知识体系的建构，促进学生的学习迁移效能。学习者浸润于深度学习环境之中，深入探究，能高效地获取有意义的知识与能力，并迁移运用。

由表1 可见，“深度学习，是师生共同经历的一场智慧之旅。”这一点正好与可视化学习的内涵不谋而合，两者具有内在的共通性，这为我们进一步探究思维可视化在深度学习中的作用提供了可能。下面我们仍从上述三个维度出发，来理解思维可视化之“为何”，即思维可视化对深度学习所起的具体作用。

1.激“趣”。

从心理维度看，数学思维的可视化意味着教师在教学过程中，需要将原本深奥的数学知识转化成可视的内容，让学生在妙趣横生的情境中进行学习，激发学生的学习动机。有了强烈的学习动机后，学生在学习中会全身心投入到对知识的探求之中，既获得了极为丰富的情感体验，也学到了知识。如在教学三角形的“高”这一概念时，教者精心创设了小老鼠拖三角形饼干进洞的情境。学生通过不断地转换饼干的位置，直至帮助小老鼠把饼干拖进洞里的操作，理解了三角形“高”的含义以及底和高的对应关系，这样可视化的手段一下子调动了学生的学习兴趣，当学生浸润于这样充满趣味的课堂中，深度学习的状态就会有明显改善。

2.促“解”。

从智力维度来看，“趣”是一种外在形式，而“理解”则是“智力层面的建构，是人脑为了弄懂许多不同的知识片段而进行的抽象活动”。认知心理学中的“双重编码”理论认为：人的大脑存在两个相互独立，但又彼此关联的系统，其中一个是浅层次的表象系统，另一个则是相对复杂的理解系统，表象系统促进了理解系统的建构。就数学学习而言，这里的表象实际上就是一些具体可视的学习方法，这些可视化的学习方法，能将学生对数学知识的理解，通过结构化、模块化的可视图表呈现出来，促进理解。比如在复习“图形的计算”时，学生利用思维导图，将所学过的所有图形进行整理，形成一张完整的知识体系图，学生通过这张图，对“图形的计算”进一步加深了理解。（见图1）

图1

3.致“用”。

从效能维度来看，思维可视化还可以帮助学生进行知识的迁移，从而学以致“用”。这是数学核心素养中关键能力的体现，也是数学学习的真正目标。此处的“用”是基于对数学知识的理解基础之上的“迁移”，将所学的知识与能力运用到新的数学情境之中，去解决那些困惑的、具有挑战性的复杂情境中的问题，这是布卢姆所提出的关于“应用”的核心内涵。以圆柱内容为例，在知识迁移运用阶段，针对“为什么有这么多东西要做成圆柱体”这一问题，采用分解图的方式，学生就能水到渠成，形成能力的迁移。（见图2）

图2

二、思维可视化之“何为”

当我们对思维可视化之“为何”有了一个清晰的认知后，就可以更好地探讨思维可视化到底“何为”，即“如何来做”这一问题。因为只有掌握了“如何来做”的技术手段，才能为数学深度学习注入活力。下面就通过学生看得见、摸得着的身边的事例，以及画草图、建导图、列表格等方法，来进一步进行探讨。

1.动手做：让数学概念更真切。

思维可视化的重点是在于“传递”，通过图像的方式将教师掌握的思维方式传达给学生，让学生进行学习。在“传递”的过程中，如何让学生接受相应的经验就十分重要。根据心理学原理，当新学习的知识与已有知识存在关联时，记忆效果会更佳。可见，教师运用思维可视化进行教学，应以学生的生活经验为元素，采取动手做的形式，展示思维过程，这样才能达到与生活对接的效果，让数学概念更真切。

例如在教学“有余数的除法”这一课时，学生在之前已经学习了没有余数的除法计算，但是在实际生活中，有余数的除法更为常见。为此，教师可以为学生创设情境，将学生在生活中遇到的问题原型，在课堂当中展示出来。比如有10 个面包，平均分给5 个人，每个人能分到几个？如果平均分给4 个人，每个人又能分到几个？学生通过思考，自己摆一摆，当平均分给5 个人时，每人分2个，这是之前学习过的没有余数的除法；当平均分给4 个人时，每个人也是2 个，但是多出了2 个。

图3

教师通过这一可视化教学方式，将数学知识与学生的生活经验进行对接，同时引出学生没有学到的知识，即对于多的2 个应该怎样表示。此时教师引入“余数”的概念来表示，那么这个“2”应该如何写在算式当中？对于学生来说，这是一个高于学生生活情境的内容，需要动脑筋进行思考，引导学生进入深度学习。

2.画“草图”：让解题思路更简便。

思维可视化，还有一种简单的方式就是画草图。草图，是一种简洁而又直观反映数学思维的方法，它可以将原本相对复杂的思维过程，简单地表达出来，进而帮助学生梳理出解决问题的思维过程，破解学生思维难点，让解题思路更简便。

例如有一道练习题：修路队原计划每天修路3 千米，5 天修完，实际上4 天就完成了任务，那么平均每天比原计划多修了多少千米？我们平时在遇到这类题目时，通常采用这样的解题思路：首先算出这条路的总工作量，然后再根据“工作效率=工作总量÷工作时间”这一关系来计算出实际每天的工作量，最后再用“实际每天的工作量-原计划每天工作量”得出结果，这种常规的思路是正确的，但是这样列式解答相对比较复杂，我们不妨引导学生采用画草图的方式来试一试。（见图4）

图4

3.建“导图”：让知识体系更完整。

数学知识一环套一环，它们形成了一个完整的知识体系，学生不断从已有经验走向新知。由此可见，教师应该有“瞻前顾后”的知识体系观，启发学生看到知识与知识之间的内在联系，并通过建立思维导图，建构具有个性化特色的“数学知识网络图”。这种思维可视化的学习方法，无形之中引导学生学会梳理知识，形成数学知识的思维网络导图，让知识体系更完整。

如在教学“表内除法”时，由于学生脑海中对除法的相关知识是散乱的，对除法的定义、名称以及计算方法都不太清楚。此时，教师不必急着讲授新知，而应遵循数学知识体系，从旧知入手，引导学生自建思维导图。学生通过回忆，将这些知识在思维导图中一一列出，即使内容不全，也可以相互提醒，互相协作，共同建构完整的知识体系导图。（见图5）

图5

针对那些还存在疑惑或学习困难的学生，教师则要从点到线，从线到面，一步步扩散知识，将与除法有关内容作一个大盘点。这样一个建构思维导图的过程，实际上是从学生的“最近发展区”入手，将他们不断向完整的知识体系方向引领。整个过程，学生探索热情高涨，思维活跃，最终高效地完成了思维导图，为数学深度学习注入了活力。

4.列表格：让数学思维更严谨。

表格是一种能够将知识进行横向、纵向对比的可视化学习形式，也是学生参与数学思维可视化训练颇具难度的一个项目。在列举表格的过程中，学生需要从知识的前后关联，或者知识的发展轨迹来进行填写，这样的训练过程，会让学生的思维更加严谨。

比如数学的单位换算，不能仅限于对数学单位的认识，还应该学会进行单位换算，这是数学学习的重要基础，也是构建小学数学知识体系的一个桥梁。随着年级递增，数学学习内容不断增加，要记住的数学公式也在增加。但是总有些学生对于数学中的单位换算掌握不牢，特别是有关长度和面积的计算，他们总是在解决问题的时候犯错误，对于单位的换算也频频出错。帮学生理清知识体系，形成严谨的思维方式，我们可以将小学所学的单位换算整理成单位换算表（表略）。

学生在整理的过程中，发现长度单位在换算时，除了千米和米的进率是1000，其余相邻的两个长度单位之间的进率都是10；在面积单位中还可以引入“公亩”这一单位，计算面积时都是用两个数量相乘，所以相邻的两个面积单位之间的进率就是10×10=100；同理，相邻的两个体（容）积单位之间的进率就是10×10×10=1000，这一系列做法，增强了知识结构的完整性，让数学思维更严谨。

综上所述，思维可视化之“为何”，突出其存在的价值，“何为”则呈现了其在深度学习中的具体操作样态。本文虽仅从思维可视化之“为何”与“何为”这两个问题进行探讨，未免有失偏颇，但仍可以唤起大家对思维可视化教学的思考。特别是在具体教学实践中，由于受学生的认知差异、学习内容的复杂程度等诸多因素影响，思维可视化的教学手段也需不断调整，从而为学生的数学深度学习注入活力。