解决排列问题的常见策略

杨锐东

排列组合问题历年高考的必考知识点，而问题本身是极其灵活多变，是平时复习的一大难点，这就要求我们在解决问题的过程中，认真审题，抓住问题的本质，灵活运用基本原理和公式进行解答，同时还要注意一些常见的策略和方法技巧，使得复杂的问题迎刃而解。

一、优先安排的策略

例 用 五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

解：由于该三位数为偶数，则末尾数字必为偶数，

又由 不能排首位，故 就是其中的特殊元素，

则应优先安排 ，按 排在个位和不排在个位分为两类：

⑴ 在个位时，共有 个;

⑵ 不在个位时，则有 个.

由分类加法计数原理，共有偶数    个.

点评：对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素.

二、捆绑处理的策略

例 用 组成没有重复数字的八位数，要求 与 相邻， 与 相邻， 与 相邻，这样的八位数共有多少个？

解：把相邻的两个数捆绑在一起，看做一个整体，共有三个整体，与剩下的 和 一共五个进行全排共有 种排法，每个整体内部共有 种排法，由分步乘法计数原理可得共有     个八位数.

点评：相邻问题利用捆绑法应分两步来完成，先将相邻的看做一整体与剩下的全排，再对相邻的内部全排.

三、插空处理的策略

例 某电视台举办的晚会的节目有 个舞蹈， 个小品， 个相声， 个独唱，要求各个舞蹈节目不相邻，则节目单共有多少种不同的排法？

解：问题解决可分两步来完成：先排 个小品， 个相声， 个独唱，共有 种排法;再将 个舞蹈节目插入前面排列的 个空挡中，共有

种排法，最后由分步乘法计数原理可得共有   种排法.

点评：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端插空.

四、先整体后局部的处理策略

例 参加完国庆阅兵的 名女兵，站成一排，其中甲、乙之间恰好隔 人，一共有多少种战法？

解：甲、乙及间隔 人看成一个“小团体”，這 人可从剩下 人中选，共有 种选法，这个“小团体”与剩下的 人共 个元素全排列共有

种排法，而小团体”内部甲、乙两人共有 种排法，最后由分步乘法计数原理可得共有 种站法.

点评：对于局部排列问题，可先将局部看做一个“小团体”与剩下元素一同排列，然后再进行局部排列.

五、顺序固定除法处理的策略

例 从 中任取 个数字组成无重复数字的三位数，其中若有 和 时， 必须排在 的前面，若只有 或 其中一个时，它们应排在其它数字的前面，这样不同的三位数共有多少个？

解：由题意应分三种情况：

⑴没有 和 时，共有 种排法;

⑵只有 或 其中一个时，共有 种排法;

⑶ 和 同时出现时，“ 排在 的前面”与“ 排在 的前面”机会均等，如不考虑“ 排在 的前面”的限制，则有 种排法，则考虑限制条件的排法有   种.

最后由分类加法计算原理可得共有 种不同的排法.

点评：本题解答中的⑵和⑶属顺序固定的数字问题，这类问题一般用“除法”处理解决.即某几个元素按一定顺序排列的问题，可先不考虑顺序，然后用总数除以这几个元素的全排列数.