动量、能量守恒之轻质弹簧模型最大弹性势能求解探讨

罗展昌

摘 要：物理现象的背后是规律，而很多规律采用了数学语言来描写。在实际的物理问题研究时，用数学公式表示的物理规律如果忽略约束条件的讨论，很容易出现数学运算正确却又与物理分析结果相矛盾的情况，这点在教学或解题过程中要特别注意。

关键词：动量守恒;能量守恒;物理分析法;数学分析法;均值不等式;柯西不等式

弹簧模型是利用动量守恒定律和能量守恒定律解决问题的经典模型，其中弹性势能极大值求解几乎是一个必考问题。对于极值问题，通常有两个解题思路，一个是物理分析法，解题思路为对物理过程准确分析，找到极值条件，从而把极值问题变为符合特定条件下的一个解;另一个方向是数学分析法，解题思路为写出所求物理量的一般表达式，通过数学知识求解出极值并得到极值条件。两种思路从结果上来看是殊途同归的，但在实际处理过程中，数学分析法如果没有找对“途”，则不能同归，下面以轻弹簧模型最大弹性势能求解为例进行分析。

问题模型：

如上图，光滑水平地面上，A、B两物体质量分别为mA，mB，A物体以速度v0向右运动，B物体原来静止，左端固接有一轻弹簧。求：轻弹簧被压缩过程中的最大弹性势能。

解题思路分析：

要讨论弹性势能Ep的最大值，一般可以从物理分析和数学分析两个角度进行分析，物理分析的角度关键是找到极值条件，数学分析的角度关键是利用数学规律找到极值，两种不同的角度得到的结果应该是一致的，是要殊途同归的。实际处理过程，还是要领会殊途同归的真正要义，避免出现殊途不能同归的现象。

解题过程：

对A、B和弹簧组成的系统，弹簧压缩过程的任意时刻遵循动量守恒定律和能量守恒定理，满足：

……………… ①

………… ②

一、从物理分析角度解题

在A压缩弹簧过程，A在弹力的作用下做初速度为v0的减速运动，B在弹力的作用下作初速度为0的加速运动，只要A物体的运动速度还大于B物体运动速度，A相对于B均有追及靠近的效果，弹簧继续压缩，弹性势能继续增大，当A、B两物体的速度相同时，A、B间距离最小，弹簧压缩量最大，此时弹性势能最大，因此可以得到弹性势能取最大值时的条件是：

vA=vB …………………………… ③

联立①②③式解得：

……………………④，此即为弹性势能最大值。

二、從数学分析角度解题，法一：

直接将②式变形可得：由变形式可知，当A、B的动能之和（）取最小值时，弹性势能有最大值，联想到数学均值不等式，当且仅当a=b时取“=”，则，当=时，即时，（）取得最小值，Ep取得最大值，将代入①式并联立②式，可解得此时弹性势能极大值为：

………………⑤

解题结果对比分析：

（一）比较④⑤两式可知，物理分析法的弹性势能最大值的条件和结果与数学均值不等式得到的条件和结果在一般形式下是不同的。其中，物理分析方法是教师教学的主要方法，也是学生能理解接受的方法，数学分析法利用均值不等值的方法求极值，论证过程没有问题，但结果却与物理分析方法得到的结果不一致。

（二）问题原因：仅利用②式，采用均值不等式求解的结果仅仅是满足②式条件下极小值，并非是同时满足①、②式的极小值，前文已说明①、②式是弹簧压缩过程系统时刻应满足的规律，二者互相制约，同时成立。

（三）正确解法，法二：

由①式知，A、B系统满足的动量矢量和保持不变，进行极值运算时应构建能保持不变的不等式形态，考虑到②式中可以变形为联想到柯西不等式，等号成立的条件是ad=bc（a/b=c/d），将进一步变形为，令，，，，则上面的变形式中的

等号成立的条件是，即vA=vB。此时，弹性势能的最大值表达式为

与物理分析方法求解的结果一致。上述论证过程成功的关键是满足①式条件，即

（四）令④⑤式相等，可解得：mA=mB。说明质量相等的情况下，均值不等式求解的极值和柯西不等式求解的极值相同，但二者满足的条件和论证方法有本质上的不同。

反思提升：

数学公式是物理规律反映的工具，解决物理问题时对数学式表达的物理规律式要进行全面准确的分析，找对“途”才能正确体现物理分析法和数学分析法的一体两面性，才能真正做到殊途同归。

参考文献

[1]王影.浅谈物理概念规律教学过程中兴趣的激发与调动——以机械能守恒定律与动量概念的引入为例[J].中学物理教学参考，2020（12）.

[2]李兴达.一道常规题惯性思维错解分析.物理教师，2015（6）.