认知结构视角下《倍的认识》教学难点与突破

计丽莉 韦宏

【摘要】本文以人教版数学教材《倍的认识》为例，论述认知结构视角下《倍的认识》教学难点突破策略，通过找准学生的学习起点、建立“倍”的模型及在比较中深化“倍”的内涵三个方面，以创设情境、操作活动和方法指导等途径突破难点，促进学生的学习迁移。

【关键词】认知结构 《倍的认识》 难点 突破 教材分析

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）29-0097-02

教学难点是指学生在教学活动中不易理解和掌握的知识与技能，也是学生学习的难点。找准了教学难点，才能构建有效的数学教学课堂，实现教学目标。而在教学实践中，仍出现教师把教学难点定得太低或者太高的现象，其原因在于部分教师依赖个人经验和习惯，以成人的角度来确定教学难点。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。”由此，准确把握教学难点，教师需基于学生的认知结构，结合数学课标要求，认真做好教材的分析工作。

简单而言，认知结构是指学习者头脑里的知识结构。数学认知结构是指学生头脑中的数学知识结构和数学经验。加法结构和乘法结构是小学生主要构建的数学认知结构，从加法结构到乘法结构，学生的认知结构会发生“质变”。数学教学中，“倍”是学生从加法结构过渡到乘法结构的一个重要转折点，在数学概念体系中占据举足轻重的地位。《倍的认识》属于概念教学，具有高度抽象性，学生学习和理解起来存在一定的困难。基于学生的认知结构，小学阶段的概念教学要建立在实际的问题情境中，依托形象化的学习材料，引导学生把复杂的问题纳入已有模式中，构建新的数学模型、解决问题，从而理解数学概念。本文对人教版小学数学教材中《倍的认识》这部分内容展开分析，指出《倍的认识》的教学难点，在于找准学生的学习起点、帮助学生建立“倍”的模型，以及在比较中理解“倍”的内涵这三个方面，并试图通过创设情境、操作活动和方法指导等途径突破教学难点。

一、《倍的认识》的教学难点分析

美国心理学家奥苏伯尔认为，课堂教学中，学习者需要将新概念融入原有的认知结构中。他还提出，观念的可利用性、可辨别性、稳定性与清晰性，是影响学生进行有效学习的认知结构变量。教师可以此作为标准分析教材，对《倍的认识》教学难点进行剖析。

（一）找准学生的学习起点

从学生发展的认知角度看，“倍”的学习是学生从认识加法到乘法的一个转折点。因此，学生建立乘法认知结构的开始就是对“倍”的学习。教材第50页的例题中，引入了“小兔子吃萝卜”的情境，让学生观察不同种类的萝卜数，经历从具体实物数量比较中逐渐抽象出“倍”的过程。教材先通过比较2根胡萝卜和6根红萝卜的数量，再比较2根胡萝卜和10根白萝卜的数量，以2根胡萝卜为一份，引出3份2根和5份2根的关系，建立“几个几”和“倍”的联系，让学生在“几个几”的基础上认识“倍”。教材是在学生已有乘除法知识上进行编写的。“几个几”是学生认知乘法结构中的内容，属于学生原有的认知观念。学生原有观念的可利用性越大，对新概念的接受能力越强。教材一开始并没有以除法知识为起点来让学生初步认识“倍”，原因在于，直接利用学生原有的除法观念来教学“倍”，思维跨度大，观念的可利用性不强，不利于学生有意义地学习。

在教学中找准学生的学习起点，引导学生充分利用原有观念将“幾个几”与“倍”建立关系，是初步学习“倍”的关键，亦是难点。由此，教师在解读教材时，要知道学生的认知基础是“几个几”，并正确处理好学生原有观念与“倍”的关系，避免在进行教学设计时对学生的认知起点产生误判，最终导致教学效果不理想。

（二）建立“倍”的模型

教材第51页的例题，是关于“求一个数是另一个数的几倍”的教学，旨在运用除法知识帮助学生深化对“倍“的认识，即两个量的比较，一个量包含几个另一个量。教材给出“画示意图“和“列除法算式”两种解决方案，主要培养学生的发散思维能力，体现方法的多样化，使得学生明白解决倍数问题可以用除法解决，能从除法角度进一步理解“倍”的概念，并让学生感受到画图策略的应用价值。但在教学过程中，很多学生未能真正理解利用“除法算式”解决这道例题的用意，不少学生会有“见倍就乘”的想法，显然，这是“倍“的模型未能在学生头脑中真正建立的表现。如果学生原有的除法观念与倍的概念辨别性不高，学生理解起来存在困难，那么学生的思维就不能摆脱旧知识的束缚，就难以挣脱“见倍就乘”的思维定势。

因此，教师要基于学情领悟教材的编写意图，理解其表达的深刻内涵，为除法与“倍”的知识搭建桥梁，提高学生对原有知识与新知的辨析度，帮助学生建立“倍”的模型。可见，教师解读教材之后，在教学过程中引导学生搭建“倍”的模型是教学的难点。

（三）在比较中深化“倍”的内涵

比较是认识新事物，判断对象特性的一种学习方法。研究表明，比较是儿童认识新事物、学习新知识的一种学习方式。“倍”本身就是关于两个数量的比较。教材第50页的例题中，对不同种类萝卜数量的比较，教师在教学中要让学生明确比较的两个对象里，谁是作为“比较的标准”，谁是“被比较的量”，并能通过语言表征、动作表征和图画表征等多种形式，描述“倍”的内涵，即一个量里包含了几个另一个量。根据奥苏伯尔提出的影响认知结构的变量，在确定“标准量”与“比较量”的过程中，就是将学生原有观念“几个几”（份数）与倍数进行组织构建，让学生在比较中提高对原有乘法观念的认知，实现学习的正向迁移。

此外，学生在学习“倍”的知识之前，已经掌握了“差比”知识，它与“倍比”是两个不同的知识结构，教师要帮助学生区分概念的内涵与外延，使得学生明确“差比”是比多少的问题，它的结果是一个具体的量，而“倍比”的结果是两个量间的一种关系，在比较中进一步理解“倍”的内涵。关于“倍”的外延概念，三年级学生主要学习“整数倍”，此外还存在分数倍、小数倍、百分数和比的内容。教师要引导学生重视知识结构的连贯性，做到“瞻前顾后”。可见，在教学中巧妙地运用比较这一方法帮助学生深化“倍”的内涵，适当为后续的学习做好铺垫，也是教学中的一个难点。

二、突破《倍的认识》教学难点的途经

于小学生而言，概念教学是抽象的，是难以理解的，教师需要基于学生原有的认知结构，认真研读教材，精心设计教学活动，实现概念教学在各环节的难点突破。针对《倍的认识》存在的教学难点，笔者提出以下可行的突破路径。

（一）创设多样情境，感知“倍”的概念

情境是教师“教”和学生“学”的重要载体。数学概念的建立，需要经历一个反复、持续的过程。为此，教师要以学生的认知经验为线索，试图在课堂上创设多样化的情境唤醒学生的旧知，激发学生的学习动力，诱发学生的数学思考。在《倍的认识》课堂上，教师可以创设学生喜闻乐见的游乐园场景图，预先设计关于比多少的问题，再逐步扩展到倍数问题，让学生尝试用原有的认知方法去解决关于倍数的实际问题。当学生产生认知冲突时，教师再加以点拨，引导学生学习新知。教师也可以灵活运用教材例题，先让学生在“几个几”的基础上初步认识“倍”的概念，然后在“变化”中加深对“倍”的理解。如教师可在“小兔子吃萝卜”这一教学情境中，充分利用现有资源，设计连续多样的情境，不断改变两个比较量的数量，让学生在经历“变化”中体会数学学习的乐趣。教师创设出贴近学生生活的有趣多样的情境，就是在试图拉近学生和课本间的距离，提高学生在课堂教学中的参与度，促进学生对“倍”的概念的认识，为突破教学难点做准备。

（二）重视操作活动，建立“倍”的模型

“倍”的概念学习，表明了两类事物在数量上是一种比较的关系，是看不见、摸不着的。从小学生的认知特点上看，文字概念的呈现和建立极不稳定，小学阶段的概念教学需要依靠感性的材料和具体的操作活动，在活动过程中构建数学模型，才能加深学生对概念的理解。数学模型可以将抽象的数学知识具体化，帮助学生理解知识。为此，教师要以活动为抓手，重视操作活动，帮助学生建立“倍”的模型，完善概念的形成过程。教师可以创设“看一看，说一说”“圈一圈，填一填”“想一想，摆一摆”等操作活动，让学生动用多个感官参与学习，在实践探索中积累感性经验，逐步抽象出“倍”的概念。学生在“圈一圈，填一填”的操作活动中，确定了比较的标准，也在头脑中建立了“1份”的概念，为“倍”与“份数”搭建联系，接着通过“想一想，摆一摆”操作活动进行数学思考，从“感性体验”向“抽象思维”过渡，理解“一个量里包含几个另一个量就是几倍”，明确“倍”和“包含”的关系，建立“倍”的模型，最终达成对“倍”本质的理解，突破教学难点。

（三）注重方法指导，培养几何直观

借助几何直观能将复杂的数学问题简单化，培养小学生的几何直观能力，帮助学生厘清数量关系，提升学生的解题能力。在教学用“倍”的知识去解决实际问题时，分析数量关系成为解题的关键。本单元教材先后以实物图、示意图及线段图呈现了几何直观的应用价值，也强调了画图策略在厘清题意、解决问题中的重要作用。为此，教师在教学过程中，应积极引导学生学会通过画图表示两者间的数量关系，提高数学解题的思维。基于学生的认知结构，学生在分析解决问题时选择的图形会有所不同，有的学生可能只会用实物图来表示数量关系。对此，教师应允许学生用自己喜欢的图形表示数量关系，尊重不同学生的选择，学生可以画形象的实物图，也可以畫抽象的线段图。在交流讨论中，教师提问学生“你们觉得哪一种画法更好呢？请说出你的理由”，进一步引导学生发现画线段图的好处，最终将画线段图运用到方法指导中。教师在教学过程中注重画图方法的指导，学生才能真正学会用“倍”的知识，去处理不同数学对象之间的数量关系，进而突破教学难点，实现对知识的正迁移。

《倍的认识》属于概念教学的范畴，具有高度抽象性，同时《倍的认识》是儿童数学认知结构中的一个生长点，起到承上启下的作用。教师要基于学生的认知结构认真研读教材、分析教学难点，通过创设情境、操作活动和方法指导等途径突破《倍的认识》教学难点，促进学生将原有认知与新知相融合，提高课堂教学的有效性。

【作者简介】计丽莉（1996— ），女，广西来宾人，南宁师范大学2020级初等教育学院硕士研究生在读，研究方向为小学数学教育;韦 宏（1968— ），男，广西上林人，理学硕士，南宁师范大学副教授，硕士研究生导师，研究方向为数学学科教学与研究。

（责编 杨 春）