基于涡流调谐质量阻尼器的车辆-索道桥系统振动控制

肖 祥, 陈 一

(武汉理工大学 交通学院，湖北 武汉 430067)

0 引 言

电涡流阻尼器是近年来在结构振动控制领域中出现的一种新型阻尼器。它利用导电片与磁场之间相对运动激起的电涡流力来抑制结构振动,具有使用寿命长、维护成本低、无直接磨损、材料可循环利用、阻尼调节范围大等显著优势,使得其在振动控制领域发挥了巨大作用[1-5],并有效推动了振动控制技术的发展。近年来,在振动控制领域中出现了一种新思路,利用电涡流阻尼来构造调谐质量阻尼器(简称ECTMD)。如Larose等[6]构造了一种新的ECTMD装置来抑制桥梁的风致振动。目前有关ECTMD装置的理论探索和实验研究仍在不断的发展之中。然而,这些研究主要针对风荷载和地震荷载作用下的桥梁线性振动控制问题。

近年来,索道桥已经被广泛应用于临时交通工程、风景工程和军事工程等领域[1]。索道桥作为一种柔性结构在使用过程中会表现出强非线性振动特性[1,7,8]。由于ECTMD具有阻尼调整范围大、维护成本低等优点,使得其在大变形非线性振动控制中能够发挥较好的作用。然而,ECTMD在振动控制应用中通常需要进行优化设计才能获得最好的控制效果。振动控制装置的参数优化设计也是近年来研究的热点[8,9]。然而现有的优化设计主要集中在桥梁线性振动控制上,对于非线性振动问题的控制效果较差。ECTMD的优化目标是最大限度地减少系统动态响应,而车辆-索道桥非线性系统的动态响应分析通常涉及复杂的非线性计算,使得ECTMD的参数优化设计较为烦琐和难以实现。

基于此,本文提出了一种基于ECTMD装置的车辆-索道桥非线性系统振动控制技术。首先提出了一种评价ECTMD对车辆-索道桥系统控制性能的分析方法,进而基于响应面法提出了参数优化方法。最后,结合一个实际索道桥论证了本文方法的有效性。

1 车辆-索道桥耦合系统非线性分析

图1为一个典型移动双轴车辆作用下的临时索道桥系统动力模型。为控制车-桥系统的振动,在桥梁的跨中、1/4跨和3/4跨分别安装ECTMD装置。ECTMD装置的等效质量、等效刚度和等效阻尼分别用mdj、kdj、cdj(j=1～3)表示。假定车辆以恒定速度v移动,并且只考虑车-桥系统在竖向平面内的振动行为。

图1 车辆-索道桥系统非线性变形

桥上安装的ECTMD装置采用与其相连接的质量-阻尼器-弹簧系统模拟,并采用三节点等参数单元建立索道桥模型,双轴车辆采用线性质量-弹簧-阻尼模型进行模拟。车体具有竖向位移yc以及转角位移θc两个自由度;前后轮轴各有一个自由度,分别为前轴竖向位移yf与后轴竖向位移yr。为描述非线性索道桥系统的动态变形,分别定义C、Ct和Ct+Δt三种桥梁变形参考状态。C表示初始时刻(t=0)的桥梁静平衡形态;Ct表示t时刻的桥梁形态;Ct+Δt表示t=t+Δt时刻的桥梁形态,其中Δt表示增量时间步。系统在t时刻的响应是已知的,需要分析的是t+Δt时刻的系统响应。本文以C为参考构形的位移表示整体位移,以Ct为参考构形的位移表示增量位移。

1.1 增量运动方程

假设车辆通过索道桥时,每个轮胎总是与桥面相接触。利用虚功原理可建立带有ECTMD装置的车辆-索道桥系统增量形式运动方程:

(1)

式中：M、C和K分别表示车辆-索道桥系统的质量、阻尼和刚度矩阵;q,F和Fr分别表示车辆-索道桥系统的自由度向量、载荷向量和抗力向量。

(2)

其中:

(3)

1.2 车桥系统响应求解

假定车桥系统矩阵M、C和K在每个增量时间步长Δt内为常数。基于牛顿拉斐逊迭代法,定义残差向量R:

(4)

增量形式运动方程(1)可采用如下迭代法求解:

(5)

(6)

式中：‖q‖∞为向量q的无限范数,η为收敛系数,本文取1.0×10-4。

基于上述求解的非线性车桥系统动态响应,评价ECTMD装置控制性能的指标可定义如下:

(7)

2 ECTMD装置参数优化

振动控制的目的是最小化结构系统的动力响应[9-11]。对于车辆-索道桥系统而言,振动控制涉及两个方面,即桥梁振动和车辆振动。对于桥梁而言,桥梁自身的位移和加速度响应是直接评估桥梁振动的两个直接指标。对于车辆而言,车辆加速度响应所反映的车辆走行性能也是评估桥梁振动的重要指标。一般而言,需要选择桥梁关键位置处的位移和加速度响应作为桥梁的控制目标;选择具有代表性的车辆加速度作为车辆的控制目标。

由于不同工况下的车桥系统位移和加速度响应具有不同的量纲,且不同位置处响应的数量级差别显著。值得注意的是车桥系统由于振动控制后响应峰值的降低比率(控制效率)是无量纲的。因此,振动控制效率可以直接作为ECTMD装置参数优化的目标函数。桥梁位移、桥梁加速度和车辆加速度的目标函数可通过下式确定:

(8)

基于以上分析,ECTMD装置参数优化的总目标函数为:

max(f(ξ))=max(β1fy+β2fa+β3fv)

(9)

ξ={md1md2md3cd1cd2cd3kd1kd2kd3}

(10)

式中：βj(j=1～3)表示权重因子,满足β1+β2+β3=1;ξ表示待优化的ECTMD装置参数向量;fy,fa和fv分别表示桥梁位移、桥梁加速度、车辆加速度的优化目标函数:

(11)

式中：n1表示桥梁位移测点数量;n2表示桥梁加速度测点数量;n3表示车辆加速度测点数量。

为提高参数优化效率,定义优化过程中ECTMD装置参数的选择范围如下:

0≤mdj≤δd,0≤cdj≤δc,0≤kdj≤δk

(12)

式中：下标dj(j=1～3)代表ECTMD装置参数;δd,δc和δk分别为ECTMD装置参数mdj,cdj和kdj的上限值。

目标函数方程(9)和约束方程(11)(12)共同构成了ECTMD装置参数的优化问题。这一问题需要通过迭代算法进行求解,而每一次迭代中都涉及整个车桥系统的非线性求解。系统的非线性问题极大增加了求解的复杂程度,令优化目标难以实现。基于此,本文采用响应面法简化非线性系统的分析难度。首先构建一系列ECTMD装置参数样本集,并由其计算出车-桥系统的响应样本,然后建立参数的响应面替代模型。由于多项式响应面模型构造简单且具有封闭形式的特点,本文采用了如下二次多项式形式的响应面模型:

(13)

式中：Υj(j=1-q)表示第j项目标函数;q为优化目标函数数量,χi(i=1-np)表示第i项优化参数;np为优化参数数量,a0,a1,i,a2,i和a3,ij为回归系数。

3 数值算例

如图1所示为一座实际的索道桥模型,前后轴距离为5m的双轴车辆以速度v=40 km/h从桥梁左端行驶到右端。车辆参数列于表1;桥梁跨径和垂度分别为L=145 m和f=4.25 m;桥梁等效密度和轴向刚度分别为m=18×103kg/m 和EA=1.00×108kN;桥梁初始水平张力为T=50.×103kN。

表1 两轴车辆参数

选取桥梁跨中、1/4跨与3/4跨处峰值位移和加速度作为桥梁的控制响应,将车体的峰值加速度作为车辆的控制响应。在ECTMD装置参数优化过程中共使用了6个桥响应和2个车辆响应,目标函数的数量为q=8。利用本文所提出的非线性分析算法,基于多组ECTMD装置参数样本计算了相应车桥系统响应。通过最小二乘法确定响应面模型回归系数a0,a1,i,a2,i和a3,ij,定义目标权重因子为β1=β2=β3=1/3。优化问题的最优解通过遗传算法(GA)函数计算得到,该函数具有强大的全局搜索能力,常用于求解约束非线性多变量函数的最优解。表2列出了用本方法得到的ECTMD装置最优参数。由于桥梁沿跨中对称,在桥梁1/4跨处和3/4跨处设置ECTMD装置参数完全相同,即md1=md3,cd1=cd3和kd1=kd3。

表2 ECTMD装置参数

忽略索道桥的非线性,ECTMD装置参数可通过线性方法计算得到[9,10]。基于线性方法设计ECTMD装置参数时,装置质量(mdj)可以直接取某一固定值。从表2可以看出,通过线性方法得到的装置参数与通过优化设计得到的装置参数有较为明显的区别。此外,本文所提出基于响应面模型的参数优化方法在ECTMD装置参数优化过程中耗费的计算时间仅为30.1 s。相较而言,直接基于车桥系统非线性分析的优化计算时间达在2 h以上,说明本文所提出的非线性系统参数优化方法具有较高的计算效率。

为进一步说明本文参数优化方法的有效性,对如下工况的车桥系统进行动态响应分析:

工况一:桥梁未安装振动控制装置。

工况二:桥梁安装有ECTMD装置,装置参数通过线性方法计算得到。

工况三:桥梁安装有ECTMD装置,装置参数通过参数优化设计方法得到。

基于上述三种工况,计算了车辆和桥梁动态响应的功率谱密度(PSD)，如图2、图3所示。桥梁振动加速度功率谱密度从能量角度描述了桥梁振动与频率的关系,是评价桥梁振动控制效果的重要指标。

图2 桥梁加速度PSD

图3 车体竖向加速度PSD

从图2可以看出,桥梁振动能量主要分布在桥梁第2阶和第7阶频率附近的1.62 Hz和4.10 Hz两个频率点。使用参数优化设计的ECTMD装置对应的PSD峰值明显小于线性设计的ECTMD装置对应的PSD峰值,说明采用参数优化设计的ECTMD装置可以有效地消除桥梁的振动能量,使桥梁的振动产生明显衰减。因此,采用参数优化设计的ECTMD装置对桥梁振动具有较高的控制效率。

如前所述,车辆加速度也是评价桥梁动力性能的重要指标。从图3可以看出,车辆加速度功率谱密度同样证明了使用参数优化设计方法的ECTMD装置的控制效率高于线型设计方法得到的ECTMD装置。

上述结果表明,具有最佳结构参数的ECTMD装置能够有效地对非线性车桥系统振动控制。因此,本文所提出的ECTMD装置和对应的参数优化方法能够有效实现对车桥系统的振动控制。

4 结 论

本文提出了一种基于ECTMD装置的车桥系统非线性振动控制方法。首先介绍了一种非接触式ECTMD装置,对其工作原理进行了分析。然后给出了一种车辆-索道桥耦合系统非线性分析方法用于评价ECTMD装置在工程中的控制性能。为获得最优控制效果,提出了一种基于响应面法的ECTMD装置参数优化方法。最后,以一个实际索道桥为例验证了本文方法的有效性。

数值算例表明,线性设计下的ECTMD装置对车辆-索道桥系统的振动控制效果较差,通过参数优化得到的ECTMD装置能有效地抑制非线性车桥系统振动。这些结果表明线性优化方法不适用于非线性车桥系统,本文所提出的ECTMD装置和基于响应面法的参数优化方法能够有效实现对车辆-索道桥系统的振动控制。