三重积分的课堂教学设计

单彩虹 顾娟 许飞

摘要 由實际案例引入，抽象总结出三重积分的概念，激发学员学习热情，体会数学来源于实践，培养学员理论联系实际的观点和方法，掌握“先一后二”和“先二后一”两种在直角坐标系下计算三重积分的方法。

关键词 三重积分 先一后二法 先二后一法

三重积分是多元函数积分学的核心内容之一，是将定积分、二重积分的概念推广到空间立体上的三元函数的积分。三重积分的概念与计算在其他学科中有重要的应用，也是后续计算曲面积分的重要工具之一。深刻分析概念的物理背景，进一步加深对元素法思想和本质的认识;引导学员自己总结和体会定积分、重积分之间的区别和联系，加深对积分思想和本质的感悟。

教学目标及教学思想

（一）教学目标与要求

理解三重积分概念;掌握在直角坐标系下将三重积分按积分域的特点化为累次积分，能正确定出上下限。培养抽象思维、辩证思维、逻辑推理、计算能力和数学建模应用能力，为指挥决策提供科学方法;理解具体与抽象、特殊与一般、精确与近似的辩证关系，养成科学理性的思维习惯和实事求是、认真细致的工作作风.

（二）教学重点与难点

三重积分的概念、直角坐标系下计算三重积分的方法。积分区域的表示、三重积分化为三次积分的方法。

学情分析

学员已理解和掌握经学习了定积分、二重积分等知识，有理论基础，从二重积分推广到三重积分易于理解。掌握了二重积分的计算方法，具有一定的基本运算技能、逻辑推理能力。

思维培养

本次教学从实际例子出发，引入概念，从定积分、二重积分的概念和性质，应用与新知识进行类比，采取归纳思维和发散思维的方式，培养学员的创新思维。

（五）教学方法和手段

采用课堂讲授、例题分析、课堂讨论的方法实施教学。教学以课堂讲授为主，注重启发式与研讨式教学。课堂讲授从密度不均匀的物体的质量入手，引入三重积分的定义;通过例子，说明三重积分“先一后二”和“先二后一”的定限方法;采用练习的方式，引导学员加深对定限的理解;采用课堂讨论的方式，加深学员对定限方法的掌握。

二、教学实施

引例 如果一个物体分布在空间的闭区域 内，物体质量的体密度为 ，如何求该物体的总质量 ？

为了检测三重积分计算的掌握情况，让学员按照例题的方法独立完成相应的练习，检验效果，体会“如何用”。

通过典型例题分析，总结“先一后二”和“先二后一”适用的范围和技巧，掌握这些方法定限的过程。通过学习三重积分的计算方法，培养学员具体问题具体分析的思维和能力，树立学员事物普遍联系、用联系的观点看待问题的观念。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）.北京：高等教育出版社，2014.