追根溯源 彰显深意*——以《尺规作图》教学为例

周 杨 (江苏省南京市金陵中学龙湖分校 211500)

尺规作图不仅是一种画图操作，更是数学思维和数学探究的一种过程以及知法明理的追溯．对于尺规作图题，有意渗透逆推的方法，用目标图展开探索，引导学生借助几何直观先预测，通过逻辑分析，再进行画图操作．通过作图帮助学生打通各个知识板块之间的关联，发展逻辑思维能力．

从各地中考的现实情况来看，尺规作图的要求已经悄然发生变化，不再是对作图技法操作单一的考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动链接，实现思维实验与动手实验的合拍，逻辑推理与合情推理的牵手，可谓新意迭出、深意彰显．《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《课标》)要求：“对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由．”[1]尺规作图考查了学生在有限条件下，通过几何推导解决问题的能力．虽然《课标》已经弱化尺规作图，但是尺规作图贯穿了知识的逻辑结构，体现了几何的逻辑思维．且这与探究活动的目标是一致的，因此较适合作为初中数学教学中探究活动的内容．

1 内容解析

尺规作图包含以下5种基本作图，即作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一个角的平分线，作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线．由于尺规作图只能利用直线和圆弧，不能利用刻度，因此本质上是在限定条件下，依据已有的几何性质，通过对已知条件的推导，作出特定图形或完成特定目标．尺规作图作为解决几何问题的辅助或证明手段，需要学生在已有的认知与操作经验的基础上加以熟悉与掌握．

2 目标及目标解析

2.1 目标

本节课选自苏科版八年级上册期中复习课．教学目标是：(1)能够掌握基本作图的步骤和作图依据；(2)会将复杂的作图转化为基本作图，发展合情推理与演绎推理能力；(3)通过尺规作图梳理知识结构，打通各个知识板块之间的关联，发展逻辑思维能力．

2.2 目标解析

达成目标(1)的标志是：在经历尺规作图的过程中，掌握基本作图的步骤和作图依据．

达成目标(2)的标志是：能够根据已知条件画出草图，根据草图分析，转化为基本作图，利用尺规规范作图，而后再证明，经历由合情推理到演绎推理的思维过程，也是由几何直观到几何推理的过程．

达成目标(3)的标志是：通过尺规作图自然联想条件与结论中所涉及的知识，根据相关的知识产生更多的尺规作图的方法，进而回顾这些方法的共性，以打通各个知识板块之间的关联，达到知识融会贯通的目的．

3 教学问题诊断

在尺规作图的过程中，直尺的功能是作连接两点之间的线段，或过两点画直线和射线；圆规的功能是用于画圆或弧，或者截取一条线段等于已知线段．这种只限于用尺规作出符合一定条件的几何图形的要求，需要学生具有较强的数学思维能力和操作能力．《课标》对尺规作图的教学提出如下要求：了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．就像证明要做到言必有据一样，作图也要做到有根有据，这种要求有助于发展学生的理性精神．尺规作图是基于演绎推理的一种作图方法，每种基本作图都可以用几何推理验证其正确性，所以尺规作图教学实为训练学生的逻辑思维．基于以上分析，确定本节课的教学重点是能够掌握基本作图的步骤和作图依据，会将复杂的作图转化为基本作图，发展合情推理与演绎推理能力；教学难点是通过尺规作图梳理知识结构，打通各个知识板块之间的关联，发展逻辑思维能力．

4 教学过程设计

4.1 问题探究

如图1，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线．

图1 图2 图3

问题1描述你的作法，标注字母，并写出这样作图的理由．

追问1 在作图的过程中可以得到什么条件，你能根据得到的条件证明吗？

追问2 由角平分线这个结论我们能想到什么？

追问3 你还能想到其他不同的作法吗？

图4 图5 图6

图7 图8

师生活动教师提出问题并引导学生思考，学生尝试作图后，发现作图过程可以产生一些条件，而这些条件可以作为证明的已知条件，进而可以证明．教师继续引导学生反过来想，由角平分线这个结论我们能想到什么，学生从角平分线的定义想到两个角相等，基于已有的知识继而想到全等三角形，构造全等三角形；由角平分线的性质想到角平分线上的点到角的两边距离相等，继而想到构造垂线；由角平分线的轴对称性想到只要构造轴对称图形．此时教师追问你还能想到哪些不同的作法，学生依照刚刚的想法，探究更多不同的作法(图2～图8)．最后教师引导学生梳理知识结构，帮助学生打通各个知识板块的关联．在引导学生思考期间，教师多次适时介入，让不同的学生得到不同的发展，让学生的思维都能动起来．

设计意图通过复习作一个角的角平分线这个基本作图，掌握作角平分线的步骤与依据，理解作法的合理性，继而引导学生用此方式思考其他基本作图的步骤与依据．从角平分线定义、性质、轴对称性出发，自然联想到构造三角形结构的想法，产生更多的作图方法，达到知识的融汇贯通．

4.2 解决问题

如图9，在△ABC中，∠C=90°，在AC边上作一点D，使得点D到AB的距离等于点D到点C的距离(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．

图9

问题1你是怎么想到的？

追问1 由距离相等这个结论我们能想到什么？

追问2 你还能想到其他不同的作法吗？

追问3 尺规作图的一般步骤是什么？[2]

师生活动教师引导学生思考，根据结论距离相等能够想到什么，学生很容易想到角平分线上的点到角的两边距离相等、垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，而题目要求是点D到AB的距离等于点D到点C的距离，一个是点到线的距离，一个是点到点的距离.教师继续引导学生转化，学生根据∠C=90°想到点D到点C的距离就是点D到BC的距离(图10)，从而解决问题．教师继续引导学生思考，能不能把点到线的距离转化为点到点的距离呢？学生想到要作一条线段的垂直平分线，继而思考如何确定这条线段，根据已知条件想到点E在AB上，且BE=BC，如 图11，从而解决问题．

图10 图11

设计意图通过例题掌握解决较为复杂的尺规作图问题，通过回顾作图的过程归纳尺规作图的一般步骤，以突破尺规作图的难点，为后续将复杂的尺规作图转化为基本作图积累活动经验．怎么想永远比想得到重要得多，通过活动渗透解题教学的一般步骤：弄清问题，拟定计划，执行计划，回顾．

4.3 回顾反思

通过本节课的学习，你对尺规作图有什么新的认识？

设计意图通过小结回顾本节课的重难点，进一步掌握作图的依据，理解尺规作图步骤的合理性．通过尺规作图梳理知识结构，打通各个知识板块之间的关联，发展逻辑思维能力．

5 教学反思

几何是研究变中不变的科学．就是在变中寻找不变的东西，也就是定量把握定性刻画，一个是在宏观上把握方向性的问题，一个是在微观上研究刻画它的数量关系．尺规作图有五种基本作图，是基于五个基本事实，这五个基本事实就相当于几何教学中的八个公理与定理，作图时可以直接拿来用的．

5.1 预测推理，化解难点

作图题是一个推理题，工具比较少，就相当于几何证明的公理与定理一样，可用的比较少．一个完整的尺规作图的思维过程是已知—求证—分析—作法—证明—讨论，而一个完整的几何推理只有已知—求证—分析—证明．所以作图题难度很大，对学生的思维要求非常高．那作图题怎么教呢？如本节课作一个角的平分线，假设已经作出来，在这样的图形中可以构成什么样的结构？目前是角平分线，由此想到角平分线的定义、性质、轴对称性.那么如何确定这条线呢？根据公理“两点确定一条直线”，还需要一个点，还可以想到什么？构造全等三角形，也就是构造形结构，围绕这个思路去想．道生一、一生二、二生三、三生万物，这是最基本的数学理念．所以，在尺规作图的作法探究中，教师可以让学生根据已知画出草图，根据草图分析画法，利用尺规规范作图，而后再证明，这就经历了由合情推理到演绎推理的思维过程，也是由几何直观到几何推理的过程．

5.2 运用作图，追根溯源

尺规作图作为一种严谨的作图方式，不仅可以培养学生的操作和思维能力，同时也是几何证明不可或缺的步骤．一方面，作图为几何命题提供了直观的图形条件；另一方面，作图有时也为证明提供了思路．尺规作图有着严谨的逻辑性，教学中要让学生利用几何原理解释作图步骤，在培养学生操作能力的同时，达到训练理性思维的目的．学生思考、作图和证明的过程，正是《课标》所提倡的“经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，这一操作和推理活动，既有利于学生积累数学活动经验，也有利于培养学生合情推理和演绎推理的能力，促进学生形成独立思考、主动探索、反思质疑的良好思维品质．在指向教师如何教的教学示范或建议中，均是以学生的先行独立尝试开路，洞察学情，以学定教．因此，本设计在设计教知识技能的同时更关注启迪学生思维，运用作图，追根溯源．

5.3 通透原理，彰显深意

尺规作图的教学不能仅停留在“作图”这个层面，而要引导学生会作图，还要弄清楚为什么这样作、对应了哪些知识、理由又是什么．笔者认为对于角平分线，学生可以从位置和数量两个方面来理解，数量可以刻画位置，位置因为数量更加的精确．学生先联想，再理解，最后运用已有的经验和方法来解决问题．教师应该尝试着创建一个给学生自由理解的课堂，联想所有的知识点和模型，再运用自已的知识和方法来解决问题这样的套路．这节课启发我们教师的“教”和学生的“学”都应从一个点通过联想打通数学学习的各个板块之间的关联，那么一道题就不仅仅是一道题，而是一节课，甚至是很多节课，这才是尺规作图的教学价值所在．