谈基于数学写作的深度学习*

刘雪莹 (江苏省江阴高级中学 214443)

仓万林 (江苏省江阴市要塞中学 214432)

深度学习是当前高中数学教学研究的热点之一．1976年，美国学者Ference Marton和Roger Saljo根据学生阅读的实验研究，首次提出深度学习(深层学习)这一关于学习层次的概念，深度学习是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习而言的．深度学习的核心理念是“促使深度参与、培育高阶能力、为迁移而学”．关于深度学习，2014年地平线报告(基础教育版)指出，“越来越多的学校领导开始意识到它在正式学习环境中的价值”，“追求深度学习”已成为驱动教育技术应用的趋势[1]．

1 数学写作是一种深度学习

数学写作与深度学习有着密切的关系．深度学习离不开深度思考，数学写作活动同样也离不开思考，这里的思考更加侧重于深度思考．数学写作活动在以下方面具备了深度学习的基本特征．

1.1 数学写作体现知识学习的批判性理解

深度学习注重知识学习的批判性理解．深度学习是基于理解的学习，强调学习者批判性地学习新知识和思想，批判性地看待新知识并深入思考，与原有的知识体系融会贯通．在数学写作活动中，批判性的阅读和思考是写作的起点，写作的过程更是经历了不断调整、优化的考验，具备了深度学习中批判性理解的基本特征．

1.2 数学写作体现学习内容的有机整合

深度学习强调学习内容的有机整合．学习内容的整合包括内容本身的整合和学习过程的整合，内容本身的整合既包括多种知识和信息间的联接，也包括多学科知识融合及新旧知识联系等．数学写作中的整合是常态，有文科和理科内容的整合，也有研究方法和手段的整合，更有学科综合能力的整合．

案例1[2]马思琪《初探“顺反粘数”》(节选)．

翻开《新高考(高二版)》2017年第9期，看到刊首《闲人莫入》一文给出了以下一组神奇的等式，引起了我的兴趣：

82-42=48，

682-342=3 468，

6682-3342=334 668，

6 6682-3 3342=33 346 668，

……

文中说：“这样的等式，可以一直写下去，直到无穷大，统统都是成立的”“迄今为止，这样的一系列无穷等式，除此之处，别的地方再也没有看到过，真正说得上‘只此一家，别无分店’了！”

我想：这组等式长得这么美，为什么会那么“孤独”呢？是她太“高冷”了吗？还是“曲高和寡”呢？难道没有相似的同伴？

小作者用优美的笔触给出了解题过程中的风景：(1)原题的证明；(2)原题的推广，“反粘数”；(3)原题的类比，“顺粘数”；(4)全新的发现．在命题探究过程中，除了文理学科的融合之外，作者将综合法证明、反证法等方法灵活运用，并借用电子表格Excel等进行了命题的探究和优化，较好地体现了新旧知识、技术手段的融合．该数学写作所研究的问题，从知识层面上看，不超过初中数学内容，但从数学思维角度看，已经完整地包含了数学研究的基本要素：给所研究的“新伙伴”下一个精确的定义，其中的数论知识整合了较为丰富的内容．在数学写作的过程中，作者已经完整地经历了一次真实的“数学研究”过程．

1.3 数学写作体现学习过程的建构反思

深度学习注重学习过程的建构反思．建构反思是指学习者在知识整合的基础上通过新、旧经验的双向相互作用实现知识的同化和顺应，调整原有认知结构，并对建构产生的结果进行审视、分析、调整的过程．成熟的数学写作作品的作者都有一定的数学阅读的基础，其写作过程经历了漫长的选题、写初稿、修改、教师指导反馈，以及再修改的历程，体现了学习过程中的建构反思．

1.4 数学写作体现学习的迁移运用和问题解决

深度学习重视学习的迁移运用和问题解决．深度学习要求学习者深入理解学习情境，判断和把握关键要素，在相似情境中能够做到“举一反三”，在新情境中分析判断差异并能迁移运用．数学写作突破了传统课堂教学中时间和空间的限制，部分学生为了解决问题采用了团队协作形式，主动自学了大量超出课堂教学难度的内容；有很多学生用几周甚至几个月的时间打磨一篇文章；还有部分学生为了解决某个有挑战性的问题，采用技术手段或者软件解决问题，使得一些数学建模或者探究问题的解决方案得到了众多专家的赞赏和肯定，达到了深度学习的基本要求．

案例2[3]郑逸凡《论简单估算数量级的数学方法》(节选)．

关注时事政治报道的人往往会遇到这样的麻烦，在相关报道中不能够及时地获取需要的数据．比如说，美国的第四轮量化宽松的数量级是每月400～500亿美元，新闻报道中可以轻松获取相对准确的数值，从而对美国的经济状况有进一步的了解．但如果突然被问到斐济(一个南太平洋小国)的工业产值几何，这甚至在网上查询都无法找到准确信息，缺少了这一数据，对于了解该国的工业化水平也就无从下手．但事实上，这些难以查询的数据，有时可以通过查询一些相关数值并进行简单的运算得到．

该数学写作中的最大挑战在于仅仅根据一个提问的方向，需要主动建构模型，找到相应的数据和理论支撑，创造性地寻找问题并解决问题，这和传统意义上的难题有本质区别.学生们可能刷了很多应用题，但是绝大多数人依然没有办法解决问题．

2 数学写作中的深度学习指导

深度学习体现了面向未来的现代学习理念，数学写作是深度学习的一种有效形式．真正的深度学习是与学科教学联系在一起的，是具有思维深度的．深度学习是一种主动性的探究活动，要求学习者用所学知识解决实际问题，教师在其中扮演的角色是引导者和辅助者．

2017年5月，“数学写作”学校联盟成立，目前成员单位已经覆盖全国20多个省份的100多所学校．根据“数学写作”学校联盟成员学校的实践和经验，结合日常教学，我们建议从以下两个方面对数学写作中的深度学习进行指导．

2.1 挖掘有价值的问题，启发思考

困惑是启发学生进行深度学习的一把钥匙．正如美国数学家哈尔莫斯所言：“问题是数学的心脏．”因此，课堂上发现有价值的问题，并启发学生们学会思考，是数学写作中教师指导的重要环节．这些有价值的问题可以源自课本，也可以是教学或者解题中某个核心的环节或者关键点．

在数学写作活动中，我们尤其要重视课本上典型问题的挖掘，这是数学写作对数学学习回归本质的一种引领作用．

案例3[4]顾珏《极值，你真的了解吗？》(节选)．

极值的问题我们做了不少，可我们真的理解极值的含义吗?

对于函数的极值，我们通常的理解就是f′(x)=0，是的，函数极值一般用f′(x)=0来求，但很多时候我们并没有理解问题的本质．

不妨看看如下两种情况：

(1)函数在f′(x0)=0时，x=x0不是极值点．

例如f(x)=x3时，f′(x)=3x2=0，则x=0，但函数f(x)=x3在R上是单调增函数，无极值(图1)．

图1 图2

(2)函数在x=x0处取极值，但其导数却不存在．

因此我们得出结论：函数y=f(x)在定义域中某一点x0取极值是f′(x0)=0成立的既不充分又不必要条件．是不是理解起来有点麻烦呢？结合图形再好好看看吧．

该生的文章选题源于苏教版选修2-2上的一个思考题[5]：试联系函数y=x3思考：当f′(x0)=0时，能否肯定函数f(x)在x0取得极值？

极值概念的理解是学生在学习导数中常纠结的问题之一．这篇文章从学生能够理解的实际案例出发，数形结合，从容解决问题，也从实践层面上解决了由于教材体系的原因(绕开极限直接学习导数)而产生的难题，体现了学生的学习智慧.在这个过程中，教师的必要帮辅是一个重要的保障性条件，因而这既是学习的智慧，也是教学的智慧．

2.2 系统安排一次深度学习的研究过程

案例分析是数学写作中的重要环节，经历一次完整的基于数学写作的深度学习探究过程，对参与活动的学生及其他学生均有重要的指导意义．教师在指导时，以一个学期为周期，可以系统性地集中安排，也可以穿插到2～3节课中进行，这样和常规的教学不冲突．当然，如果换成选修课或者校本课程的形式，则可以进行得更为完善．

第一阶段，由教师指导学生开展任务导向型的合作探究．教师根据实际的教学内容，安排1～2节课，创设问题情境，给出必要的提示，学生根据问题先进行独立思考，然后以小组合作的形式开展探究、提交作品．

第二阶段，展示学习成果和互动交流，强调学习过程中对知识的同化和应用迁移．通过交流的过程，不断进行反思和借鉴，从而促进知识的内化和应用．全班展示小组成果，小组之间互相评价借鉴，教师总结评价，扩展应用，解决疑问，综合应用知识．教师针对活动过程中暴露出来的问题进行个别或者全班指导，帮助学生完善思维，改进解题方法．

案例4[6]殷誉峰《基本不等式学习的“思与变”》(节选)．

基本不等式的应用中，我们往往机械强调“一正二定三相等”，特别是在定值(定和或者定积)的配凑上下足了工夫，也就是“有的放矢”，以为这样就可以搞定所有问题了，这其实是远远不够的.没有目标时，不妨主动出击，“寻”的放矢，这可是解决问题的另一种境界！

例题若正数a,b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围．

变式1 若正数a,b满足ab=a+b+3，求a+b的取值范围．

变式2 若正实数x,y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是．

变式3 已知a,b∈(0,+∞)，且a2+b2+ab=a+b，求a+b的最大值．

此文的例题及前面两个变式相当于第一阶段，而后续问题则有很大的变化，体现了学习的个性化．

该案例中，该生对基本不等式的使用进行了深入思考，变式3中那个方向不一致的不等式应用，戳到了学生们的痛点．最后一个变式，辩证地告诉我们，任何一种好的解题方法都可能有其不足之处，因此，有“备胎”意识很重要．这种经验分享对其他学生亦有很好的启发价值．学生写自己解题的心路历程，特别是对同一类问题的积累和拓展等，在解决问题的同时，能够有效培养、训练、提升其归纳、发现问题的能力．在数学写作实践过程中，教师们发现，当学生将原有的思考过程用文字来呈现时，往往会出现许多原本以为理所当然的问题，要有效解决这些问题，必须再次进行多方面的深入思考，这对学生的综合能力提出了新的挑战，也与课程改革培养学生核心素养的基本要求是完全一致的．

深度学习发生于课堂，更发生于课堂之外，数学写作打破了传统课堂的时空限制，使学生经历真实的学习过程，有效提升学科核心素养．