将知识序、认知序自然融合为学生的学习序*——以“去括号法则”学习路径的设计为例

曹建军 (浙江省杭州市上城区教育学院 310006)

学习路径(简称学习序)是对学生学习某一具体数学知识时思维与学习过程的描述，以及一个相关的、设想的路径，这个路径包含了一系列指向教学目标的教学任务，以及基于学习路径的教学设计.事实上，在学习的过程中还存在另外两条不同的路径：知识发生发展的过程(简称知识序)、理解知识的心理过程(简称认知序).日常教学中可能会存在两种问题：一是教师较多地关心知识的逻辑而忽视学生认知的心理过程，造成学生被动地接受知识；二是教师可能重视了学生学习的难点与疑点，但由于对知识的理解不到位，无法有效地改善学生的学习.事实上，只有数学知识的逻辑性与学生对知识逻辑性理解的心理适应性这两者同构才是学习发生的基本条件[1].因此，教学设计显然应充分考虑这两个路径，使之能够自然地融合为适合学生的学习路径，即应将知识序、认知序自然融合为学生的学习序(双径融合)，努力实现“为学而教”.

在浙教版“去括号法则”的教学中，当括号前的数字因数不为1或-1时，学生存在两个易错点：当括号前面是负号时忘记改变括号内每一项的符号；漏乘数字因数.学生在这一问题上的错误率一直都比较高，教师对于问题产生的原因却 “百思不得其解”.在近期举行的浙江省初中数学新课程新教材“疑难问题解决”专题研训活动中，本人结合浙教版七年级上册“4.6整式的加减(1)”(即“去括号法则”)一课向与会代表分享了自己对这一内容学习路径设计的思考，现与大家交流.

1 知识的发展路径分析

1.1 地位和作用

整式的加减是学习式的运算的第一步，是式的运算的基础，其中蕴含的内容、思想方法和研究方法在后续学习中有示范作用.就整章而言，整式分为两大部分——整式的有关概念和整式的加减运算，整式的有关概念是整式运算的基础.因此整式的加减是本章的重点，而整式的加减可以归结为去括号和合并同类项.可以说，去括号是整式加减的基础，也是今后学习整式的乘法、分式运算及解方程的基础.

1.2 内容解析

去括号是通过分配律将含有括号的整式转化为整式和的形式，从而可以运用加法的运算律，达到合并同类项的目的.既然就是分配律，那为什么还要学习去括号法则呢？实际上，去括号法则的本质是去括号时符号变化的规律.而学习去括号法则的目的，就在于从易错的符号问题中获得规律，从而将符号运算转化为数值运算，最终促进技能的自动化(显然也能对去括号的结果，尤其是符号的检验具有更清晰的帮助).

1.3 对比分析现本质

对括号前的数字因数不为1或-1时这一易错点的教学处理，浙教版教科书与人教版教科书采用了不同的方法.浙教版直接用乘法分配律，如-3(2x2-3x)=(-3)×2x2+(-3)×(-3x)= -6x2+9x，即直接将-3作为整体乘以括号中的每一项.而人教版先把正系数用分配律转化为系数为1的情况，再根据法则去括号，如-3(2x2-3x)=-(3×2x2-3×3x)=-6x2+9x，即第一步先将-3的绝对值3乘以括号中的每一项(运算不牵涉符号)，从而转化为与法则相符的括号前只含符号的形式，此时并没有去掉括号；第二步再用去括号法则去掉括号，同时改变括号中每一项的符号.相较于浙教版，人教版的处理有效降低了思维难度，一定程度上避免了错误的发生，也更体现去括号法则的本质.根据以上分析，确定知识序(图1)：

图1 去括号法则的本质及其知识路径

2 学习的认知路径分析

2.1 学生已具备的认知基础

学生已经学过数的分配律，对于数的去括号已经有了初步的认识.小学四年级就由特殊到一般归纳过分配律的文字语言，并以填空的形式写过符号语言：a×(b+c)=a×+a×.到了初中，在数的范围分别扩展到有理数和实数时，都研究过原有的运算律与运算法则在新的范围内同样适用的问题，并进行了具体运用的练习.

2.2 与本课目标的差距以及弥补的方法

(1)数的分配律仍适用于式的运算的合理性

由于数的分配律不含字母，所以学生在理解分配律仍适用于式的运算的合理性时可能会有一定的困难.为此，可以尝试采用以下两种方式，增强学生对合理性的理解:

①几何直观.由长方形面积的不同表示，得到等式3(x+3)=3x+9，形成对合理性的直观感受.

②字母表示数.回顾代数式的概念，进一步理解字母表示数的本质，所以数的分配律显然仍适用于式的运算.

(2)数的运算与式的运算在处理括号时的差异性

在有理数运算中，遇到括号时通常先做括号中的运算，而在整式运算中往往需要先去括号再合并同类项.这种差异进一步增加了学生对去括号的理解的难度.因此，去括号也是本章学习的难点.要让学生根据合并同类项法则明确括号内不能直接运算的原因，进一步明确算理，经历完整的整式运算的建构过程.如先呈现无括号的合并同类项的问题，再出现有括号的问题，从能合并到不能合并，让学生自然产生认知冲突，体会差异并理解算理.

(3)去括号法则本质的明确

浙教版去括号法则教学中易错点的产生，实质上与教材的编写有一定的关系.人教版在学生学习法则的过程中明确归纳的是去括号时符号变化的规律，是直接指向去括号法则的本质的.浙教版虽然同样得出了法则，但没有明确这一点，学生对本质的理解是不明确的；在括号前的数字因数不为1或-1的例题教学时又采用了分配律直接运算的方式，再次失去强化本质的机会.这造成学生在去括号时，基本上都直接用分配律.此时，对每一项需要同时进行符号与数值两方面的运算，显然更容易产生错误.

根据以上分析，教学中要加强对式的运算的合理性的认识，充分理解数式运算的差异性.在法则获得过程中，应让学生充分明确法则的本质——去括号时符号变化的规律；在法则运用过程中，要让学生直接使用法则进行操作，巩固法则本身，而不是分配律.

3 学习路径的基本流程设计

由以上两方面的分析，我们确定了本课学习路径的基本流程(图2)：

图2 “去括号法则”学习路径的基本流程设计

4 “学为中心”的问题导学设计(部分)

4.1 法则获得

问题1你能把下列整式化简吗？(1) 2ab+2-3ab-1；(2) 2(ab+1)+(-3ab-1)； (3) 2(ab+1)-(3ab+1).

师生活动：因为已学过合并同类项，所以学生能够对(1)合并得到结果，但解决(2)时遇到问题，括号中的多项式不能像有理数运算一样先计算了(合并)，怎么办？所以需要先去括号，怎么去？

问题2分配律在数的运算中是适用的，现在是数乘以式，那么分配律在式的运算中是否还成立呢？

师生活动：学生用两种方法来表示矩形的面积，得到等式3(x+3)=3x+9，验证分配律同样适用于代数式的运算.

问题3你还能从其他角度解释这个结论吗？

师生活动：引导学生回顾代数式概念，即由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式，充分了解字母表示数，所以数的分配律仍然适用于式的运算.

评析引导学生深入数学思考：“引进一种新的数，就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算律”，这是代数的核心思想.在数系、运算法则和运算律(即对任何数都成立的通性)中获得的知识，可以方便地迁移到“以字母表示数”后的学习中去.

问题4请运用分配律将下列各式去括号：(1) 3(x+5)=;(2) +(x+y+z)=;(3) +(x-y+z)=;(4) -2(-x+6)=;(5) -(x+y+z)=;(6) -(x-y+z)=.

请观察每个等式去括号前后各式符号的变化，你能归纳你发现的规律吗？

设计意图浙教版教科书中并没有明确指明去括号法则是去括号时符号变化的规律，通过前面的分析可知，这是学习路径中极重要的一环，所以设置这6个小题引导学生归纳，从而获得去括号法则.

4.2 法则运用

题组1 去括号:(1) +(x-y)=;(2) -(-x-y)=;(3)x-(y+z)=;(4)x+(-y+z)=.

师生活动：完成之后请学生对照书本，阅读课本对-3(2x2-3x)是怎么书写解题步骤的.

问题5对于课本的解题步骤-3(2x2-3x)=-3×2x2+(-3)×(-3x)=-6x2+9x，你能说出每一步的依据吗？你还有其他做法吗？你的依据是什么？

评析对于括号前数字因数的绝对值不是1的情况的解决，课本例题采用的方法实际上并非去括号法则的直接运用，而是利用分配律去括号.这样的安排忽视了去括号法则的本质，不利于学生对去括号法则意义的理解，显然也不利于技能自动化的达成，与程序性知识学习的阶段要求是相悖的.因此，在其他做法的介绍中，为了避免部分学生符号出错，可以分两步:先将绝对值通过乘法运算放进括号，依据是分配律；再利用法则去括号.从而让学生经历法则的运用过程，而不只是分配律的运用.

问题6去括号时哪些地方容易出错？你有哪些避免出错的措施？

师生活动：大家讨论得到以下几点：①去括号，看符号；是“+”号，不变号；是“-”号，全变号；②去掉的是括号和括号前的符号；③运用分配律的时候不要漏乘.

5 “学为中心”的学习路径设计的思考

5.1 “双径融合，问题导学”的学生学习路径的设计流程

“学为中心”的课堂教学要求教师在教学设计和教学组织时必须站在学生立场上，创设一条最适合学生学习的路径.具体来说，我们可以按“双径融合，问题导学”的流程做好这一工作(图3)：

图3 “学为中心”的学生学习路径的设计流程

一是充分理解数学知识及其发生发展过程.教师要“重在分析知识结构，分析知识因果关系，获得知识环环相扣、严丝合缝的逻辑路径，以此为基础，选择知识发生的捷径进行教学.”[1]教师只有充分理解数学知识的逻辑路径才能找到关键节点，真正实现“再创造”过程的教育价值.如本课中，只有分析清楚去括号法则的本质是从易错的符号问题中获得规律，从而将符号运算转化为数值运算，才能正确处理其与分配律的关系，并设计“问题5”引导学生探寻不同解法.只有分析清楚知识的类型及其学法，才会懂得如何强化法则的概括过程，并合理设计“问题4”以明确指向去括号时符号变化的规律这一法则的本质.

二是深入了解学生理解数学知识的心理过程.教师要依据认知规律，充分利用数学教学的实践性知识，与学生进行“心理换位”，揣摩学生的认知特征，“深切地体会学生在学习数学知识时，心理上的那种深陷重围的痛楚、举步维艰的困惑、欲言又止的难局，依据学生的心理生成，有针对性地设计出利于学生学习的教学.”[1]本课中，只有分析清楚学生在理解分配律仍适用于式的运算的合理性时可能会有困难，才会引导学生回顾代数式概念，充分了解字母表示数，从而意识到数的分配律仍然适用于式的运算.也只有分析清楚学生的常见错误：当括号前面是负数时，容易忘记改变括号内每一项的符号，才会有针对性地提出分步实施的建议.

三是善于以问题引领学习.数学问题的解决过程就是学生思维活动的过程，因此，数学教学设计的核心是问题的设计，它要求教师在教学设计时善于选择一个好的问题情境，善于设置一个好的起始问题，设计一串能够引导学生不断深入思考的问题链，通过先“设疑”后“解惑”，组织起学生的数学思维活动，搭建起整个数学教学活动的过程.如在本课中，理解了知识路径与认知路径并非就一定能很好地设计出适合学生学习的路径，还需要进行“学为中心”的问题导学设计，如问题2、4、5的思考性问题，问题3的拓展性问题，问题6的归纳性问题，引导学生通过问题链真正经历这一“理想的”学习路径.

以上三项工作中，教师充分理解数学知识及发生发展过程是学习过程设计的前提与基础，深入了解学生理解知识的心理过程是学习过程设计的必要条件，以问题引领教学是教学设计的一个基本策略.

5.2 “双径融合，问题导学”促使学生“有目的地思考”

“重结果轻过程”是法则教学中普遍存在的现象，许多教师会直接给出法则，然后让学生通过反复的训练来强化记忆法则.通过“双径融合”的方法进行设计显然使得教师对代数运算的教学上升了一个高度——注重知识发生发展过程以帮助理解算理、感受重要数学思想方法、发展基本数学能力.更为重要的是可以更好地促使学生“有目的地思考”，这显然是数学教学设计最重要的目标之一.如此，法则教学就不会被简单定位成技能教学，显然还可以包括更多、更为高级的思维层面的目标.

在本课中，如果没有充分理解字母表示数，学生就不会认为代数式的本质仍是数，也就不可能充分体会“数式通性”，对分配律仍适用于式的认识也就可能只停留在直观的水平，而不能达到代数的本质.如果没有深入分析去括号法则的本质，引导学生进行有目的的归纳活动，学生甚至部分教师都会将其仅仅视为分配律的运用，法则就成了“空中楼阁”.