基于力法的斜支承连续箱梁挠曲扭转内力分析

2021-10-20魏彦红张元海

铁道科学与工程学报 2021年9期

魏彦红，张元海

(兰州交通大学土木工程学院，甘肃兰州 730070)

因良好的抗弯扭性能和整体性，箱形截面被广泛地应用到各类桥梁中[1]。长期以来，关于箱梁力学性能的研究都是桥梁工程领域内关注的课题[2−5]。蔺鹏臻等[6]研究了单箱双室箱梁的竖向对称挠曲变形，结果显示单箱双室箱梁即使在竖向对称荷载作用下也存在局部的约束扭转变形。龚耀清等[7]基于统一分析梁模型，提出了分析不等壁厚单箱双室箱梁挠曲扭转的有限节线法，并推导了不等壁厚箱梁横截面剪切中心的计算方法。夏桂云等[8]以闭口薄壁杆件约束扭转齐次微分方程初参数解为基础，给出了分析薄壁箱梁约束扭转的有限元列式。已有这些文献以研究常规支承箱梁力学性能的居多，对斜支承箱梁的研究相对较少。但在一些高速公路、高架道路桥梁建设中，为满足道路需求常常会采用斜支承的箱形截面梁。这种斜支承形式使箱梁的弯扭耦合特性更加显著，其理论计算也更加复杂[9−12]。夏桂云等[13]研究了竖向集中荷载作用下，剪切变形对中、小跨径单跨斜梁挠度的影响，分析得出斜交角越大，剪切变形对挠度的影响越大。为研究斜支承箱梁的挠曲扭转力学性能，张元海等[14]在挠曲剪滞和约束扭转齐次微分方程解的基础上，推导了考虑剪力滞效应的10 自由度薄壁箱梁单元，并用实验和有限元软件验证了此单元的正确性。研究结果显示剪滞翘曲和约束扭转翘曲变形对箱梁的应力分布影响十分显著，不可忽视。朱德荣等[15]提出了分析约束扭转变形的斜支承箱梁单元，比较了偏载作用下斜支承连续箱梁与正交支承连续箱梁扭转力学性能的差异，但未对斜支承箱梁内力与斜交角之间的关系作更进一步的研究。综上所述，已有文献多为用有限元数值方法研究斜支承箱梁的力学性能，采用解析法的尚未见报道。本文基于力法原理，在闭口薄壁杆件约束扭转齐次微分方程初参数解的基础上，建立了斜支承连续箱梁的力法协调方程，结合数值算例，着重研究了斜交角变化对斜支承连续箱梁内力的影响。

1 约束扭转微分方程初参数解

对闭口薄壁杆约束扭转变形可建立关于广义翘曲位移β'(z)的控制微分方程[16]:

式中：k为约束扭转弯扭特征系数；μ为截面约束系数；E为材料的弹性模量；J͞ω为广义主扇性惯性矩；m(z)为作用于跨间的分布扭矩荷载，以力矢指向z轴正方向为正。

将z=0 处截面的扭转角、广义翘曲位移、双力矩和扭矩用初参数θ0，β′0，B0和T0表示。当简支箱梁跨内无荷载作用时，m(z)=0，用初参数表示式(1)的齐次微分方程的初参数解为[16]：

式中：G为材料的剪切弹性模量；Jd为抗扭惯性矩。

1.1 简支箱梁在均布扭矩荷载作用下的初参数解

图1 为简支箱梁承受满跨均布扭矩荷载m作用，在箱梁上取微段dt，t为dt到原点的距离。

图1 箱梁承受均布扭矩荷载Fig.1 Box girder subjected to uniform torque load

根据约束扭转齐次微分方程的初参数解和简支箱梁约束扭转变形的边界条件，文献[16]给出了均布扭矩荷载作用下简支箱梁的初参数解，将其化简得：

1.2 简支箱梁在集中扭矩荷载作用下的初参数解

图2 为简支箱梁承受集中扭矩荷载T͂作用，t为集中扭矩荷载作用位置到原点的距离。

图2 箱梁承受集中扭矩荷载Fig.2 Box girder subjected to concentrated torque load

对文献[16]推导的集中扭矩荷载作用下简支箱梁的初参数解化简可得：

2 斜支承连续箱梁的力法原理

图3(a)和3(b)为承受均布偏载作用的，两端常规支承，内部斜支承的连续箱梁的平面图和立面图。选取简支箱梁为基本结构，其平面图和立面图如图3(c)和3(d)。将所有斜支点的约束用相应的约束反力ri(i= 1,2,3,…,n)代替，ri称为多余未知力。ti表示第i个斜支点所在截面的z坐标值。

图3 原结构和基本体系Fig.3 Original structure and basic system

2.1 单位多余未知力作用下斜支点处的变形

如图4所示，将单位多余未知力ri(i=1,2,3,…,n)等效为过截面剪切中心的单位集中力rie和绕截面扭转中心的力矩ri·ei。ri和rie以y轴正向为正，ri·ei以逆时针为正，ei为第i个斜支点到该点所在横截面扭转中心的距离，以使等效后的力矩ri·ei绕截面扭转中心逆时针为正。

图4 多余未知力等效图Fig.4 Equivalent diagram of redundant unknown force

分别计算出第i个等效后的荷载rie和ri·ei单独作用下，第j个多余未知力作用点沿第j个多余未知力作用方向上的位移ξji和θji·ej(j= 1,2,3,…,n)。两项叠加即为第i个单位多余未知力ri作用下，第j个多余未知力作用点沿第j个多余未知力方向上的位移δji，δji可表示为：δji=ξji+θji⋅ej。

ξji以y轴正方向为正，也可以通过图乘法得到，θji以横截面正面逆时针转动为正。

2.2 外荷载作用下斜支点处的变形

如图5 所示将偏载q等效为过截面剪切中心的分布荷载qe和绕截面扭转中心的均布外力矩q· e。其中q和qe以y轴正向为正，q·e以逆时针为正，e为偏心荷载作用点到截面扭转中心的距离，以使等效后的外力矩q·e绕截面扭转中心逆时针为正。

图5 外荷载等效图Fig.5 Equivalent diagram of external load

分别计算出等效后的荷载qe和q· e单独作用下，第j个多余未知力作用点沿第j个多余未知力作用方向上的位移ξjq和θjq·ej(j= 1,2,3,…,n)，两项叠加即为外荷载q作用下，第j个多余未知力作用点沿第j个多余未知力方向上的位移δjq，δjq可表示为：

ξjq以y轴正方向为正，也可用图乘法计算，θjq以横截面正面逆时针转动为正。

2.3 斜支承连续箱梁力法方程

原结构中斜支点的竖向位移受到支座的约束，因此斜支点的竖向位移为0。原结构与基本体系具有相同的变形，所以根据基本体系在所有多余未知力作用位置沿多余未知力作用方向上产生的变形为0，可以建立如下方程：

求解式(24)的方程组，可以得到n个多余未知力ri(i= 1,2,3,…,n)；将多余未知力作为已知外荷载作用于基本结构上，便将研究斜支承连续箱梁挠曲扭转变形问题转化为研究简支箱梁挠曲扭转变形问题。

3 斜支承两跨连续箱梁算例分析

图6(a)为跨径布置为40 m+40 m 的斜支承两跨连续箱梁，截面尺寸如图6(b)。材料为C40 混凝土，剪切模量G为14.45 GPa，弹性模量E为34 GPa，泊松比ν为0.2。φ为中墩两斜支点连线与梁轴线所夹锐角的余角，称为斜交角。当φ为0°时，即为常规支承的两跨连续箱梁。作用于箱梁上的外荷载可分为2 种工况，工况1：过截面剪切中心的单位竖向均布荷载q=1 kN/m；工况2：过腹板和顶板交线的单位竖向均布偏载q=1 kN/m，方向沿y轴正方向。

图6 斜支承两跨连续箱梁Fig.6 Two-span skewly supported continuous box girder

3.1 本文方法的有限元验证

用ANSYS 中的SHELL63 单元建立了斜交角φ为30°的斜支承两跨连续箱梁模型。为便于用单元节点力求和法计算箱梁截面的弯矩和扭矩，先将箱梁模型切割为6 个梁段，切割点分别位于z坐标为38，38.643，40，41.375 和42 m 的截面。在0～38m 和42～80 m 的梁段内单元尺寸划分为0.2 m，其他梁段内划分为0.1 m。在ANSYS中无法直接查询箱梁截面的内力，需要在后处理阶段做进一步的计算，才能获得截面的内力。以Ⅰ-Ⅰ截面为例，在ANSYS 中选择出Ⅰ-Ⅰ截面及z坐标为16+0.2 m的截面所包含的所有节点，再选出同时包含所选节点的单元，重新选择Ⅰ-Ⅰ截面所包含的节点，指定Ⅰ-Ⅰ截面的形心为力矩中心，最后用FSUM命令可直接在ANSYS中求出Ⅰ-Ⅰ截面的内力。其他截面的弯矩和扭矩皆可按此方法逐个计算。

将ANSYS 计算出的弯矩、扭矩以及本文方法计算的值示于图7 和图8。通过对比可得出：本文任何一种工况作用下，用ANSYS 和本文方法计算出的弯矩吻合良好；工况1 作用下，2 种方法计算出的扭矩吻合较好，工况2作用下，虽存在较小偏差但变化规律一致，从而验证了本文方法的正确性。

图7 竖向对称荷载作用下的内力对比Fig.7 Internal force comparison under vertical symmetrical load

图8 竖向偏心荷载作用下的内力对比Fig.8 Internal force comparison under vertical eccentric load

3.2 斜支承两跨连续箱梁内力分析

用本文的方法对图6所给的斜支承两跨连续箱梁在2种荷载工况下的内力进行计算，将计算结果汇总整理为图9～12。

图9(a)，9(b)和9(c)分别为竖向对称均布荷载作用下，不同斜交角对应的弯矩、双力矩和扭矩图。从图9的曲线可得出：在竖向对称均布荷载作用下，常规支承箱梁只产生弯矩，双力矩和扭矩都为0，所以只发生竖向对称弯曲变形，不发生扭转变形。斜支承箱梁在发生弯曲变形的同时还会发生约束扭转变形，因此即使在竖向对称荷载作用下斜支承箱梁的变形也具有明显的弯扭耦合特征。

图9 竖向对称荷载作用下的内力图Fig.9 Internal force diagram under vertical symmetrical load

图10(a)，10(b)和10(c)为竖向偏心均布荷载作用下，不同斜交角对应的弯矩、双力矩和扭矩图。从图10 给出的曲线可以得出：在竖向偏心荷载作用下，常规支承和斜支承箱梁的变形都具有弯扭耦合特征。对比图9 和图10 的曲线可得出：竖向对称荷载作用下，斜支承箱梁的弯矩和扭矩沿梁轴线关于跨中截面对称分布，双力矩反对称分布。两斜支点截面(Ⅱ-Ⅱ和Ⅲ-Ⅲ截面)出现相同的负弯矩峰值；在竖向偏心荷载作用下，斜支承箱梁的内力分布没有对称性。负弯矩峰值仅出现在靠近偏载作用一侧的斜支点截面(Ⅲ-Ⅲ截面)。不论是在竖向对称荷载还是竖向偏心荷载作用下，斜支承箱梁的斜支点截面都出现双力矩峰值。

图10 竖向偏心荷载作用下的内力图Fig.10 Internal force diagram under vertical eccentric load

图11(a)，11(b)和11(c)为竖向对称荷载作用下，弯矩、双力矩和扭矩随斜交角的变化曲线。从图11 的曲线可知：各项内力随斜交角的变化具有单调性。

图11 竖向对称荷载作用下内力随斜交角的变化Fig.11 Variation of internal force with skew angle under vertical symmetrical load

图12(a)，12(b)和12(c)为竖向偏心荷载作用下，弯矩、双力矩和扭矩随斜交角的变化曲线。从图12 给出的曲线可以知：一些截面的内力随斜交角的变化不再呈现出单调性。如Ⅰ-Ⅰ截面的弯矩，当斜交角小于55.9°时，随斜交角的增大而增大，斜交角大于55.9°时，随斜交角的增大而减小。对比图11 和图12 的曲线可知：在竖向对称均布荷载作用下，当斜交角为20°时，与常规支承箱梁相比，Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的弯矩绝对值分别减少0.09%和7.65%。在竖向偏心均布荷载作用下，当斜交角为20°时，与常规支承箱梁相比，Ⅰ-Ⅰ截面的弯矩增大5.88%，Ⅲ-Ⅲ截面的弯矩绝对值减少1.92%，Ⅳ-Ⅳ截面的弯矩减少6.72%，Ⅰ-Ⅰ截面的扭矩增大20.08%，跨中截面的扭矩绝对值减少2.08%，Ⅳ-Ⅳ截面的扭矩绝对值减少6.65%。2 种荷载工况作用下，双力矩峰值随斜交角的变化比较显著，但双力矩沿梁轴的分布具有明显的局部特征，仅在斜支点截面出现峰值后会向两边墩快速衰减。综上可知，当斜交角小于某个特定值时，斜交角变化对斜支承连续梁内力的影响很小。