基于概率密度演化理论的尼尔森体系拱桥吊杆应力冲击系数研究

姜金凤

(1. 北京交通大学 土木建筑工程学院,北京 100044；2. 山东铁路投资控股集团，山东 济南 250000)

拱桥因其刚度大，跨越能力强等优点在铁路桥梁中有广泛应用[1−2]。吊杆作为拱桥的关键受力构件[3]，长期承受着交通荷载作用，它的失效轻则对拱桥整体结构将产生非常不利影响，重则引起桥梁坍塌[4]。因此，研究吊杆的动应力响应及应力冲击系数对于铁路拱桥的设计、建造、评估以及维护等工作具有重要意义。现场试验测试是评估桥梁动应力及冲击系数的最直接的手段，但测试成本较高且测试结果具有时效性。结构健康监控系统[5]能起到长期有效监控结构响应的效果，但健康监控系统成本高昂。近年来，随着计算机技术的不断发展，数值方法在桥梁动力响应研究中被广泛使用。学者们基于车—桥耦合振动理论对不同类型桥梁的动力响应问题进行了大量研究，朱劲松等[4]通过建立中下承式钢管混凝土系杆拱桥二维有限元模型分析了结构阻尼、路面不平顺度、行车速度及车重对吊杆应力冲击系数的影响；朱志辉等[6]基于海南东环铁路万宁系杆拱桥有限元模型研究了行车速度和轨道不平顺对吊杆应力冲击系数的影响；杨建喜等[7]采用建立中承式钢管混凝土拱桥有限元模型，分析了车辆以不同速度平稳过桥条件下吊杆的动力性能；AMMENDOLEA等[8]对等效列车荷载作用下拱桥结构交叉吊杆索损条件下的动力性能进行了数值研究。这些研究主要针对吊杆平行或拱肋平行的拱桥结构吊杆冲击系数进行分析，对于尼尔森体系提篮式拱桥这种具有斜交角，并且拱肋与竖直方向具有倾斜角度的桥，其吊杆动应力响应及应力冲击系数的规律性还需要进一步研究[9]。上述研究中采用单一的轨道不平顺样本，甚至忽略轨道不平顺的影响，以此获得轨道—桥梁耦合系统的轮轨激励输入。但随机轮轨力激励对车桥耦合系统的影响不容忽视[10]，轨道不平顺是一个随机过程[11]，由此引起的车辆-结构耦合振动响应也是随机过程，单一样本难以表征随机振动的本质特征，因此应采用随机振动方法进行研究。在随机振动领域，李杰等[12−13]提出的概率密度演化理论为列车—轨道—桥梁耦合随机振动分析提供了全新的途径，该理论结合了数论选点法[14]，可以利用较少的代表性样本得到高精度的结构物理状态的概率密度演化结果。而采用概率密度演化理论对吊杆应力冲击系数的研究国内外几乎空白。为分析尼尔森体系拱桥吊杆在列车动力荷载作用下的应力冲击系数问题，本文基于列车−轨道—桥梁耦合振动理论和概率密度演化理论，以济青高铁线某尼尔森体系提篮式拱桥为例，考虑轨道随机不平顺激励，研究车速和轨道不平顺等级对吊杆应力冲击系数的影响，以及各吊杆应力冲击系数的不均匀性。

1 列车—轨道—桥梁耦合系统模型

车辆模型采用考虑二系悬挂的垂向10 个自由度模型，包括车体和前后转向架的沉浮、点头，以及4 个轮对的沉浮[2]。列车的运动方程如式（1）所示：

式中：Mv，Cv和Kv分别为列车的质量、阻尼和刚度矩阵；Fv和Xv为列车所受的外力和位移列向量。

为简化建模及计算分析的难度，将轨道结构模拟为弹簧—阻尼器单元，仅考虑其对钢轨的支撑作用，采用有限元法建立轨道—桥梁结构整体有限元模型。在有限元模型中，钢轨采用空间梁单元模拟；拱肋和主梁采用空间梁单元模拟；吊杆采用杆单元模拟。所有材料均假设为线弹性，桥梁除钢轨以外的二期恒载均作为自重施加在桥梁模型上。采用有限元直接刚度法，建立轨道—桥梁子系统的动力方程为：

式中：M，K和C分别为质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；F和X分别为力向量和位移向量；Ẋ和Ẍ分别为速度和加速度向量；下标v和b分别代表列车子系统、轨道—桥梁子系统；Ksys为整个列车—轨道—桥梁耦合时变系统的刚度矩阵，它由车辆子系统与桥梁子系统的刚度矩阵和车辆与钢轨的接触矩阵组成，下标sys 表示整个列车—轨道—桥梁耦合系统。

2 基于概率密度演化理论的吊杆应力冲击系数分析

2.1 吊杆应力冲击系数

依据《铁路桥涵设计基本规范》[16](TB10002.1—2005)可知，动力系数为列车运行对结构产生的动态反应与静态反应之比。则吊杆应力动力系数表达式为

式中：μ1为吊杆应力冲击系数计算值；σdmax为吊杆最大动应力；σsmax为吊杆最大静应力，其取值为列车低速(准静态)条件下的吊杆最大应力。

本文取《铁路桥涵设计基本规范》中“钢筋混凝土桥跨结构”动力系数推荐值作为参考指标开展计算分析

式中：μ2为规范推荐的吊杆应力冲击系数；L为影响线加载长度。

2.2 基于PDEM的应力冲击系数求解

在给定的初始条件下，式(6)的列车—轨道—桥梁耦合随机振动方程的解都存在且唯一，并依赖于轨道不平顺随机变量Θ。为简便起见，将式(6)的解表示为[17]

式中：Pl为离散参数代表点的初始赋得概率。

对式(10)的偏微分方程采用具有TVD 性质的双边差分法[12]进行数值求解，得到最终的结构响应概率密度演化解pZ(z,t)

根据式(13)的概率密度分布情况pZ，即可得到结构响应的均值μ和标准差σ。以3 倍标准差原则(μ+3σ)确定吊杆应力上限值，其上限值的最大值即式(7)的吊杆最大动应力σsmax。

基于PDEM 的吊杆应力冲击系数分析流程示意图如图1所示。

3 工程算例

3.1 工程概况

拱桥有限元模型如图2所示。桥梁为单孔尼尔森吊杆体系简支拱桥，主梁和拱肋均采用beam 188 单元建模。吊杆采用link 180 单元建模。桥梁全长L=148 m，主梁采用单箱三室等高箱形截面。拱肋为二次抛物线，截面采用高度为4.0 m 的哑铃型截面，倾斜角度8°，设计矢高f=28.8 m，矢跨比1/5，设计拱轴线方程为y=115.2×(144x−x2)/1442。两榀拱肋间共设1 道钢结构一字横撑及6 道K 撑。拱桥桥面的吊杆连接点间距为8.0 m，吊杆采用PES(FD)7-127 型低应力防腐拉索，全桥共设32 组吊杆，图2 中与X轴正方向夹角为锐角的吊杆编号依次为1号～16号；与X轴正方向夹角为钝角的编号依次为17 号～32 号。桥面二期恒载取值为153 kN/m，包括轨道结构、防水层和人行道等重量。

图2 拱桥有限元模型Fig.2 Finite element model of arch bridge

本文利用商用有限元软件ANSYS 计算得到ZK 活载作用下的桥梁最大挠度为2.029 cm，与设计院的Midas 计算结果2.042 cm 吻合较好。表1 给出了拱桥有限元模型前6 阶自振频率及模态，由《铁路桥梁检定规范》可知，该桥满足横向自振频率fH≥120/L=0.811 Hz和竖向自振频率fV≥23.58 L-0.592=1.224 Hz的要求。

表1 拱桥振型及自振频率Table 1 Mode and natural frequency of arch bridge

3.2 吊杆随机振动特征分析

车辆模型选取8 节编组(4M+4T)的ICE3 列车，轨道不平顺条件为美国联邦铁路局(Federal Rail‐road Administration, FRA) 6 级高低轨道不平顺谱[20]。桥梁设计车速为350 km/h，假定列车以350 km/h 的速度单线行驶过桥。采用耦合时变的方法计算桥梁动力响应，通过应力应变关系得到吊杆的应力，本文不考虑吊杆受压的情况。吊杆动力响应结果如图2所示。

图2 中拱桥两端吊杆(1 号，16 号，17 号和32号)以及跨中吊杆(8号和24号)的应力均值和标准差如图2 所示。图3 给出了跨中8 号吊杆的概率密度演化结果、等概率密度曲线。分析图2可知，桥上相同吊点位置左右2 根吊杆应力均值存在明显差异，其中，8 号吊杆应力均值最大值20.17 MPa，而24号吊杆应力均值最大值达到33.73 MPa，但两者标准差差异仅有0.31 MPa。这是因为列车上桥过程中引起的桥梁竖向挠度与桥上相同吊点位置左右2根吊杆轴向的夹角不同，吊杆拉索受张拉程度不同，致使尼尔森体系拱桥出现桥上相同吊点位置2吊杆应力一强一弱的现象。

图3 车速350 km/h时吊杆动力响应结果Fig.3 Dynamic response results of the suspenders at a speed of 350 km/h

由图4可知，吊杆应力的概率密度演化结果符合均值响应变化趋势。随着列车上桥长度的不断增加，轮轨激励不断增多，当列车处于桥梁跨中时，8 号吊杆应力4～6 s 分布范围逐渐变宽，概率密度峰值降低。

图4 跨中8号吊杆概率密度结果Fig.4 Probability density results for mid-span No.8 suspender

3.3 车速对吊杆应力的影响

选取与第3.2 节相同的列车编组和轨道不平顺条件，以50 km/h 为间隔分别取200～350 km/h 之间4种速度单线行驶过桥。

图5分别给出了不同车速条件下吊杆动应力均值最大值和应力取最大上限值时的标准差。对比图5(a)和5(b)可知，车速的改变对吊杆应力均值的影响较小，4 种车速条件下最大值仅有1 MPa。尼尔森吊杆体系的各吊杆的均值分布并不均匀，均值最大值出现在桥梁跨中与铅锤方向夹角最小的25 号吊杆，最小值出现在梁端边吊杆。其中，车速350 km/h 时均值最大值为48.61 MPa，均值最小值为13.42 MPa。各吊杆应力取最大上限值时的标准差差异性较大，但标准差最大值出现在25号吊杆，车速350 km/h 时的标准差最大值为0.81 MPa。

图5 不同车速条件下吊杆动应力统计特征值Fig.5 Statistical characteristic values of suspenders dynamic stress under different speed conditions

图6 为各吊杆的应力冲击系数曲线。由图6 可知，车速对各吊杆冲击系数的影响规律并不一致，但各车速条件下冲击系数最大值均出现在梁端的边吊杆，其中，350 km/h车速条件下1号和32号吊杆的冲击系数达到0.4。同时，图6 给出了式(8)计算得到的规范建议值0.194。边吊杆因为应力均值小，导致应力冲击系数大，超过了规范建议值，然而边吊杆应力均值和应力幅均不大，并没有超过自身的抗拉限值200 MPa，相比之下，中间吊杆的应力幅远大于边吊杆，虽然中间吊杆的冲击系数为仅为0.07～0.08，但其受张拉程度最强，应力变化范围最大，这也将影响到中间吊杆的疲劳寿命。

图6 吊杆应力冲击系数Fig.6 Stress impact factor of suspenders

3.4 轨道不平顺对吊杆应力的影响

选取与第3.2 节相同的列车编组条件，针对FRA 6 级谱、德国低干扰谱[21]和我国2015 新轨谱3种高低轨道不平顺谱条件，以350 km/h 的车速单线行驶过桥。图7 和图8 分别给出了不同轨道不平顺条件下吊杆应力取最大上限值时的标准差和吊杆应力冲击系数。

图7 不同轨道不平顺条件下吊杆动应力标准差Fig.7 Standard deviation of suspenders dynamic stress under different track irregularities

图8 吊杆应力冲击系数Fig.8 Stress impact factor of suspenders

由图7 和图8 可知，由于我国新轨谱的平顺性优于FRA 6级谱和德国低干扰谱，吊杆应力标准差和冲击系均随着轨道不平顺程度的减小而减小，且分布规律保持不变。其中，我国新轨谱不平顺条件下以350 km/h 车速通过拱桥引起的25 号吊杆动应力标准差最大值为0.52 MPa，小于FRA 6级谱的0.81 MPa 和德国低干扰谱的0.69 MPa。同时，25 号吊杆在轨道不平顺为我国新轨谱条件下有冲击系数最小值0.05 。因此，铁路运营过程中应保证线路的高平顺性要求，减小吊杆受到的冲击作用，进而延长吊杆的使用寿命。

4 结论

1)尼尔森体系拱桥桥上相同吊点位置的左右2根吊杆由于其与铅锤方向的夹角以及杆件长短不同，导致2根吊杆应力一强一弱；梁端短吊杆的最大动应力均值均小于跨中长吊杆，其中25 号吊杆应力均值车速350 km/h 时最大值为48.61 MPa，但短吊杆应力冲击均大于跨中长吊杆。

2) 车速对尼尔森体系拱桥吊杆的应力均值影响较小，各吊杆的标准差随车速的增加整体呈现增大趋势。

3) 车速对各吊杆冲击系数的影响规律并不一致，但各车速条件下冲击系数最大值均出现在梁端的边吊杆，且超过规范限值0.194；随着轨道不平顺程度的增加，吊杆应力标准差和冲击系数逐渐增大，且分布规律保持不变。