本原性问题驱动下高中数学变式教学提升学生创新能力探究

路锋杰

【摘要】知识的本原性是数学概念的根源或构成的最根本属性，对本原性的思考凸显为一种刨根问底的探寻精神，始终把理解知识的本质作为首要问题.从课堂教学的角度可以理解为以变式教学为载体，深化知识本原性的观念、思想和方法.本原性问题驱动下的高中数学变式教学，可以强化学生的双基，内化知识，提高课堂的教学效果，落实新课标的核心素养，激发学生的创新能力.

【关键词】本原性问题;变式教学;创新能力

【基金项目】本文为甘肃省教育科学“十三五”规划2020年度一般课题“本原性问题驱动下高中数学变式教学的行动研究”阶段性研究成果，课题立项号GS[2020]GHB1992.

本原性问题驱动下高中数学变式教学是指在教学过程中通过变更高中数学概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探究变的规律的一种教学方式.本原性问题驱动下高中数学变式教学是通过一个问题的变式达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学双基，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学习的能力都具有很好的积极作用.

一、挖掘知识概念本质，强化双基

新课标倡导教师不仅要教会学生概念，还要让学生通过学习体会透过现象观察本质，真正理解数学概念的本质.课堂中，教师应通过变式教学，让学生体会从不变的本质中探究变的规律，加深对数学概念的理解，最后回归教材，强化双基，构建高效数学课堂.学习“函数的单调性与导数的关系”这节课时，教师应先讲清楚函数单调性与导数的关系，让学生理清两者内在的逻辑关系，再改变题目中的已知条件或所求结论，激发学生的思维，创设活跃的课堂氛围，学生通过互动交流，分享心得体会，强化双基.

例1 若函数h（x）=ln x-12ax2-2x（a≠0）在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围是多少？

教师分析：本题主要考查函数的单调性与导数的关系，因为函数在闭区间上单调递减，只需令导函数在闭区间上恒小于等于零即可.学生按照教师的分析很快得到以下解答过程.

学生解答：因为h（x）在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，h′（x）=1x-ax-2≤0恒成立，即a≥1x2-2x恒成立.令G（x）=1x2-2x，所以G（x）max=-716（此时x=4），所以a≥-716.又因为a≠0，所以a的取值范围是-716，0∪（0，+∞）.

变式1 若函数h（x）=ln x-12ax2-2x（a≠0）在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是多少？

教师分析：本题是例1的变式，改变试题的条件，属于二级变式，锻炼学生对知识的灵活应用，尤其是存在单调区间，学生容易出错.教师通过这样的变式教学体现教学重点，突破教学难点，使学生加深对概念的理解.

学生解答：因为h（x）在[1，4]上存在单调递减区间，所以h′（x）≤0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a≥1x2-2x有解，而当x∈[1，4]时，令G（x）=1x2-2x，G（x）min=-1（此时x=1），所以a的取值范围是[-1，0）∪（0，+∞）.

变式2 若函数h（x）=ln x-12ax2-2x（a≠0）在[1，4]上不单调，则实数a的取值范围是多少？

教师分析：本题通过对例1的条件再次改变，让学生更为清楚地理解函数的单调性与导数之间的关系，激发学生的求知欲，让课堂更加“热闹”.学生在交流中理解知识的本质，培养核心素养.

学生解答：因为h（x）在[1，4]上不单调，所以h′（x）=0在[1，4]上有解，即a=1x2-2x=1x-12-1在[1，4]上有解，令G（x）=1[]x2-2[]x，则-1≤G（x）≤-716.所以实数a的取值范围是-1，-716.

教师点评：由函数的单调性求参数取值范围的方法.

1.可导函数f（x）在区间（a，b）上单调，实际上就是在该区间上f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立，得到关于參数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，进而求出参数的取值范围.2.可导函数f（x）在区间（a，b）上存在单调区间，实际上就是f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.

3.若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.

二、多维视角变式教学，落实新课标的核心素养

变式教学实际上是根据高中数学知识内容、授课对象和教学环境形成的一种综合性教学方法.变式教学以本原性知识问题为背景，通过题型有限的变式训练达成解决无限的举一反三的目的，这种教学可以优化课堂结构，构建和谐的课堂氛围，激发学生学习数学的积极性，引导学生主动学习和思考，促进学生的全面发展，从而落实新课标的核心素养.

例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA+C2=bsin A，a=1且c=1，求△ABC的面积.

教师分析：本题主要考查三角函数与解三角形方面的知识，是一道非常经典的试题，对提升学生的数学思维品质有很大的帮助.

学生解答：由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.故∠B=60°.S△ABC=12acsin B=12×1×1×sin60°=34.

变式1 若本例中的条件a=1且c=1变为b=1，求△ABC面积的最大值.

教师分析：改变上题中的条件，题目转化为已知一角及一边，求面积的最大值，利用正、余弦定理和基本不等式可以顺利解答，培养了学生的基本运算能力.