无穷级数在斐波那契数列相关性质证明中的应用

孙卫卫 王 丹

(青岛城市学院，山东 青岛 266106)

1 斐波那契数列及其相关性质

斐波那契数列[1]是数论中常见的数列之一，该数列又被称为黄金分割[2]数列。斐波那契数列由数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”。该数列具体为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，可以由以下递推公式所得到

对于斐波那契数列，为什么会被称为黄金分割数列呢？其实不难发现斐波那契数列具有以下性质：

性质一 当n越大，Fn越接近，其中为黄金分割率[2]，

例如，当n=8时，F8=21，而，

当n=14时，F14=377，而；

例如，当n=8时，F8=21，F9=34，而

当n=14时，F14=377，F15=610，而。

就因为以上性质，所以，斐波那契数列被称为黄金分割数列，下面运用无穷级数的相关知识给出这两个性质的证明。

2 运用无穷级数对斐波那契数列的性质进行证明

2.1 性质一的证明

证明：先构造如下无穷级数[3]

在等式(1)两边乘以x与x2得到如下两个等式

用(1)-(2)-(3)得到

运用斐波那契数列的定义可知F1=1，F2-F1=0，Fn-Fn-1-Fn-2=0(n=3,4,5……)，代入上式得到

事实上，G(x)也可以展开成x的无穷级数，运用高等数学的相关知识将G(x)分解[4]为如下等式

由无穷级数中幂级数展开[3]的相关知识可得

将上式代入(4)式可得

2.2 性质二的证明

证明：根据性质一：当n充分大时，Fn就越接近于因此可得：当n充分大时，就越接近于性质二得证。